高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题4 立体几何 突破点12 立体几何中的向量方法专题限时集训 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。专题限时集训(十二)立体几何中的向量方法 建议用时：45分钟1(2016北京高考)如图1210，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.图1210(1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.2分又因为PAPD，所以PD平面PAB.4分(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.5分如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1).6分设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2).8分又(1,1，1)，所以cosn，.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.10分(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.11分因此点M(0,1，)，(1，).12分因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD当且仅当n0，即(1，)(1，2,2)0.解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.14分2(2016四川高考)如图1211，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.图1211(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 【导学号：67722045】解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行如图(1)，延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.2分(1)理由如下：由已知，知BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.4分又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.6分(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，所以PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.7分设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.如图(1)，过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA平面ABCD，从而PACE，于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.9分过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE，所以APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.12分法二：由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.又PAAB，所以PA平面ABCD.7分设BC1，则在RtPAD中，PAAD2，作Ay平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，(2)所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2).9分设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2,1).10分设直线PA与平面PCE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.12分3(2016泰安模拟)在平面四边形ACBD(如图1212(1)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC沿AB折起，构成如图1212(2)所示的三棱锥CABD，且使CD.(1)(2)图1212(1)求证：平面CAB平面DAB；(2)求二面角ACDB的余弦值 【导学号：67722046】解(1)证明：取AB的中点O，连接CO，DO，在RtACB，RtADB中，AB2，CODO1.又CD，CO2DO2CD2，即COOD.2分又COAB，ABODO，AB，OD平面ABD，CO平面ABD.4分又CO平面ABC，平面CAB平面DAB.5分(2)以O为原点，AB，OC所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，D，(0,1,1)，(0，1,1)，.6分设平面ACD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，则y11，x1，n1(，1,1).8分设平面BCD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令z21，则y21, x2，n2，10分cosn1，n2，二面角ACDB的余弦值为.12分4(2016郑州二模)如图1213，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED为矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.图1213(1)求证：AD平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为，试求的最小值解(1)证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2.BD2AB2AD22ABADcos 603.2分AB2AD2BD2，ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，4分DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.6分(2)由(1)可建立以直线DA，DB，DE为x轴、y轴、z轴的如图所示的空间直角坐标系，令EP(0)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，P(0，1)，(1，0)，(0，1).8分设n1(x，y，z)为平面PAB的法向量，由得取y1，则n1(，1，)n2(0,1,0)