高中数学 第3章 概率章末综合测评 北师大版必修

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。章末综合测评(三)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列事件：如果a，b是实数，那么baab；某地1月1日刮西北风；当x是实数时，x20；一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有()A1个B2个C3个D4个【解析】由题意可知是必然事件，是随机事件【答案】B2(2016全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.B.C.D.【解析】分别确定n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)和m个两数的平方和小于1的数对所在的平面区域，再用随机模拟的方法和几何概型求出圆周率的近似值因为x1，x2，xn，y1，y2，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个用随机模拟的方法可得，即，所以.【答案】C3从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是()A. B. C. D.【解析】所有子集共8个，其中含有2个元素的为a，b，a，c，b，c，所以概率为.【答案】D4(2016山东青岛一模)如图1所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()图1A. B.C. D.【解析】易知小正方形的边长为1，故小正方形的面积为S1(1)242，大正方形的面积为S224，故飞镖落在小正方形内的概率P.【答案】A54张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A. B.C. D.【解析】基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，其中两数字之和为奇数的有(1,2)，(2,3)，(1,4)，(3,4)，所以概率为.【答案】C6在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积不小于的概率是()A. B.C. D.【解析】如图，设点M为AB的三等分点，要使PBC的面积不小于，则点P只能在AM上选取，由几何概型的概率公式得所求概率.【答案】A7(2016东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲、乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A.B.C.D.【解析】任意找两人玩这个游戏，共有6636种猜数字结果，其中满足|ab|1的有如下情形：a1，b1,2；a2，b1,2,3；a3，b2,3,4；a4，b3,4,5；a5，b4,5,6；a6，b5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P.【答案】D8ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.B1C.D1【解析】长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为，取到的点到O的距离大于1的概率为1.【答案】B9设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2ax20有两个不相等的实数根的概率为()A. B.C. D.【解析】若方程有实根，则a280.a的所有取值情况共6种，满足a280的有4种情况，故P.【答案】A10(2016石家庄高一检测)有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是()A. B.C. D.【解析】是2的倍数的数有60个，是3的倍数的数有40个，是6的倍数的数有20个，P.【答案】D11(2015湖北高考)在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1p2Bp2p1C.p2p1Dp1p2【解析】如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“xy”对应的图形为阴影ODE，其面积为，故p1，则p1p2，故选D.【答案】D12如图2所示，在矩形ABCD中，AB5，AD7.现在向该矩形内随机投一点P，则APB90的概率为()图2A. B.C. D.【解析】由于是向该矩形内随机投一点P，点P落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD为区域.要使得APB90，需满足点P落在以线段AB为直径的半圆内，以线段AB为直径的半圆可看作区域A.记“点P落在以线段AB为直径的半圆内”为事件A，于是求APB90的概率转化为求以线段AB为直径的半圆的面积与矩形ABCD的面积的比，依题意，得A2，矩形ABCD的面积35，故所求的概率为P(A).【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是_，_.【解析】由题意知出现一级品的概率是0.980.210.77，又由对立事件的概率公式可得出现三级品的概率是10.980.02.【答案】0.770.0214如图3的矩形，长为5 m，宽为2 m，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为_m2.图3【解析】由题意得，S阴.【答案】15在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则xy是10的倍数的概率为_. 【导学号：63580044】【解析】先后两次取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,10)，(10,10)，共计100个因为xy是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)共10个，故xy是10的倍数的概率为P.【答案】16(2015重庆高考)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_【解析】方程x22px3p20有两个负根，解得p1或p2.故所求概率P.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料，若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率【解】将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P(D).(2)P(E)，P(F)P(D)P(E).18(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y. (1)求事件“xy3”的概率；(2)求事件“|xy|2”的概率【解】设(x，y)表示一个基本事件，则掷两次骰子包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件(1)用A表示事件“xy3”，则A的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件P(A).即事件“xy3”的概率为.(2)用B表示事件“|xy|2”，则B的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)共8个基本事件P(B).即事件“|xy|2”的概率为.19(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率【解】设从甲、乙两个盒子中各取出1个球，编号分别为x，y，用(x，y)表示抽取的结果，结果有以下25种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，故所求概率为P，即取出的两个球上标号为相邻整数的概率为.(2)标号之和与标号之积都不小于5的结果有以下17种：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，故所求概率为P，故取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率是.20. (本小题满分12分)把一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b.试就方程组解答下列各题：(1)求方程组只有一组解的概率；(2)求方程组只有正数解(x与y都为正)的概率【解】(1)当且仅当时，方程组只有一组解；的情况有三种：或或而抛掷两次的所有情况有6636(种)，所以方程组只有一组解的概率为P1.(2)因为方程组只有正数解，所以两直线的交点一定在第一象限，解方程组得当或且a0，b0，即或时，x0，y0.当b1或2时，a2,3,4,5,6；当b4或5或6时，a1.所以方程组只有正数解的概率为P.21(本小题满分12分)(2015山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率【解】(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015(人)，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个因此A1被选中且B1未被选中的概率为P.22(本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率【解】(1)工厂总数为18271863，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，