高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题7 选修系列 第23讲 几何证明选讲教师用书 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。专题7选修系列4部分第23讲选修41：几何证明选讲题型一| 相似三角形的判定与性质图231(2016江苏高考)如图231，在ABC中，ABC90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点求证：EDCABD.证明在ADB和ABC中，因为ABC90，BDAC，A为公共角，所以ADBABC， 5分于是ABDC. 7分在RtBDC中，因为E是BC的中点，所以EDEC，从而EDCC. 9分所以EDCABD. 10分【名师点评】判定两个三角形相似的几种方法：(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比例，两三角形相似；(4)相似三角形的定义1如图232，在ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，SDOE9 cm2，则求AOB的面积图232解在ABCD中，ABDE，AOBEOD，3分2. 5分E是CD的中点，DECDAB， 7分则2，224， 9分SAOB4SDOE4936(cm2). 10分2如图233，BD，CE是ABC的高求证：ADEABC.图233证明BD，CE是ABC的高，AECADB90. 2分又AA，AECADB， 5分. 7分又AA，ADEABC. 10分题型二| 与圆有关的比例线段问题如图234，PA为圆O的切线，A为切点，PBC为经过圆心O的割线，若PA10，PB5，BAC的平分线与BC和圆O分别交于D，E，求ADAE的值图234解连结CE，由切割线定理知，PA2PBPC.1分PA10，PB5，PC20，CB15. 2分又PA为圆O的切线，PABACP，PP，PABPCA，4分. 5分又BC为直径，CAB为直角，AC2AB2BC2225，6分由得AC6，AB3. 7分又AE平分BAC，EABCAE，ABCE， 8分ACEADB，.ADAEABAC3690. 10分【名师点评】(1)圆中线段长度成比例的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比例关系(2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换1(2016苏锡常镇二模)已知ABC内接于O，BE是O的直径，AD是BC边上的高求证：BAACBEAD.图235证明连结AE.1分BE是O的直径，BAE90. 3分BAEADC. 5分又BEAACD，BEAACD. 8分，BAACBEAD. 10分2如图236，AB是O的直径，C，F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2DBDA.图236证明连结OF.因为DF切O于F，所以OFD90. 2分所以OFCCFD90.因为OCOF，所以OCFOFC. 5分因为COAB于O，所以OCFCEO90.所以CFDCEODEF，所以DFDE. 8分因为DF是O的切线，所以DF2DBDA.所以DE2DBDA. 10分题型三| 圆内接四边形的判定及性质定理的应用如图237，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根图237(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径【导学号：19592065】解(1)证明：连结DE，根据题意知，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即. 2分又DAECAB，从而ADEACB. 3分因此ADEACB，所以ADEEDBACBEDB180，所以C，B，D，E四点共圆. 5分(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12. 7分取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5. 10分【名师点评】判定四点共圆的方法1如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆2如果一个四边形的一组对角互补，那么这四个点共圆3如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆4如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且都在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆如图238，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.图238(1)证明：A，E，F，M四点共圆；(2)若MF4BF4，求线段BC的长解(1)证明：连结AM，由AB为圆O的直径可知AMB90，2分又CEAB于E，故AEF90，所以AMBAEF180.因此A，E，F，M四点共圆. 5分(2)连结AC，由A，E，F，M四点共圆，可知BFBMBEBA， 7分在RtABC中，BC2BEBA，又由MF4BF4知BF1，B