《数列教师版》word版.doc

数 列 （A班）第1讲 数列的概念考点1 数列的通项公式题型1 已知数列的前几项，求通项公式【例1】求下列数列的一个通项公式：【解析】联想数列即数列，可得数列的通项公式；将原数列改写为（或，或）变式1、求下列数列的一个通项公式：（1）（2）【解析】（1）分子为正偶数列，分母为得 （2）观察数列可知：题型2 已知数列的前项和，求通项公式【例2】已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.； .【解析】当时，当时，.当时，.当时，当时，.当时，.变式1、已知为数列的前项和，且，求数列的通项公式【解析当时， 当时，.而时，.题型3 已知数列的递推式，求通项公式 （应用迭加（迭乘、迭代）法求通项或者构造等差等比数列求通项）【例3】数列中，求和数列的通项公式【解析】，变式1、 已知数列中，求数列的通项公式；已知为数列的前项和，求数列的通项公式.【解析】（迭加法）， ，当时，.迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如“；变式2、已知数列中，求数列的通项公式.【解析】，是以为公比的等比数列，其首项为 题型4 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项【例4】数列中，.是数列中的第几项？为何值时，有最小值？并求最小值.【解析】由，解得， 是数列中的第项.， 或时，.变式1、数列中，.求这个数列的第10项；是否为该数列的项，为什么？求证：； 在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.【解析】， ；令，无整数解，不是该数列的项.，由，得，当且仅当时，在区间内有数列的项.第2讲 等差数列1.等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数为公差.2、通项公式，为首项，为公差 前项和公式或.3.等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项. 即：是与的等差中项4.等差数列的判定方法 ：定义法：（，是常数）是等差数列；中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质 ；(,是常数)；(,是常数，)若，则；考点1等差数列的通项与前n项和题型1已知等差数列的某些项，求某些项【例1】已知为等差数列，则 【解析】方法1： 方法2：， 变式1：已知为等差数列的前项和，求；若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.数列中，当数列的前项和取得最小值时， . 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则 由知是等差数列， 变式2. 已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.【解析】设这个数分别为则， 解得当时，这个数分别为：；当时，这个数分别为：题型2求等差数列的前n项和【例2】已知为等差数列的前项和，.求； 求； 求.【解析】当时，当时，当时， .由，得，当时，；当时，.； ；当时， 当时， 变式1、已知为等差数列的前项和，则 ； 解：；变式2、设、分别是等差数列、的前项和，则 .【解析】 变式3、.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） 【解析】 ，.选B.变式4、（倒序相加法求和）设，求： ；【解析】，. 原式.考点2 等差数列的证明和综合应用【例3】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列. 【解析】方法1：设等差数列的公差为， （常数）数列是等差数列.方法2：， ，数列是等差数列. 变式1、为数列的前项和，；数列满足：，前项和为 求数列、的通项公式； 设为数列的前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值.【解析】，当时，； 当时， 当时，；，是等差数列，设其公差为.则， . ，是单调递增数列. 当时，对都成立 所求最大正整数的值为.第3讲 等比数列1等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，为公比. 2 通项公式：， 前项和公式：当时， 当时，.3.等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项. 即成等比数列.4.等比数列的判定方法 定义法：（，是常数）是等比数列；中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质 若，则；若等比数列的前项和，则、是等比数列.考点1等比数列的通项与前n项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知为等比数列，则 【解析】方法1： 方法2：，变式1、已知为等比数列前项和，公比，则项数 .已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.【解析】由，公比，得.方法1：设这四个数分别为，则；方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则，解得或；方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则或；变式2、已知为等比数列前项和，则 .【解析】是等比数列，为等比数列，.题型2 求等比数列前项和【例2】（1）等比数列中从第5项到第10项的和. （2）已知为等比数列前项和，求 （3）（采用错位相减法求和）已知为等比数列前项和，求【解析】 （1）由，得，（2）， 即（3）. ，- -，得 变式1.已知为等比数列，求的值.【解析】设等比数列的公比为， ，=考点2 等比数列的证明和综合应用例3】已知数列的首项，证明：数列是等比数列； 【解析】 ， ， ，又， 数列是以