高三数学二轮复习 专题突破 专题四 数列 第2讲 数列求和及简单应用限时训练 文

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。第2讲数列求和及简单应用(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号求数列的通项公式、递推求和1,4,7,9,12公式法、分组求和法求和3,4,6,7,11裂项相消法求和、并项求和2,5,8错位相减法求和9数列的综合应用10,13重点把关1.(2016河北石家庄二模)已知数列an满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列an的前n项和,则S2 016的值为(A)(A)0(B)2(C)5(D)6解析:依题意,a1=2,a2=3,a3=a2-a1=3-2=1,a4=a3-a2=1-3=-2,a5=a4-a3=-2-1=-3,a6=a5-a4=-3-(-2)=-1,a7=a6-a5=-1-(-3)=2,a8=a7-a6=2-(-1)=3,所以数列an是周期为6的周期数列,又因为2 016=6336,所以S2 016=(2+3+1-2-3-1)336=0,故选A.2.(2016安徽淮南一模)数列an的通项公式an=ncosn2,其前n项和为Sn,则S2 016等于(B)(A)2 016(B)1 008(C)504(D)0解析:因为an=ncosn2,所以a2k-1=(2k-1)cos(2k-1)2=0,kN*.a2k=2kcos k=2k(-1)k.则S2 016=a2+a4+a2 016=2(-1+2)+(-3+4)+(-1 007+1 008)=1 008,故选B.3.(2016安徽淮南二模)已知数列an满足:an+1+2an=0,且a2=2,则an的前10项和等于(B)(A)1-2103 (B)-1-2103(C)210-1(D)1-210解析:因为an+1+2an=0,所以数列an是公比为-2的等比数列,又因为a2=2,所以a1=12(0-a2)=-1,所以所求值为-1-(-2)101-(-2)=-1-2103,故选B.4.(2016江西鹰潭一模)已知数列an,bn满足a1=b1=1,an+1-an=bn+1bn=2,nN*,则数列ban的前10项和为(A)(A)13(410-1)(B)43(410-1)(C)13(49-1)(D)43(49-1)解析:因为an+1-an=bn+1bn=2,所以数列an是等差数列,且公差是2,bn是等比数列,且公比是2.又因为a1=1,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.所以ban=b2n-1=b122n-2=22n-2.设cn=ban,所以cn=22n-2,所以cncn-1=4,所以数列cn是等比数列,且公比为4,首项为1.由等比数列的前n项和公式得,其前10项的和为1-4101-4=13(410-1).故选A.5.(2016北京东城区一模)已知数列an的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S11等于(D)(A)-21(B)-19(C)19 (D)21解析:S11=1-5+9-13+17-21+33-37+41,=(1-5)+(9-13)+(17-21)+(33-37)+41,=(-4)5+41=21,故选D.6.(2016安徽宿州一模)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7的值为(D)(A)7(B)21 (C)22(D)14解析:由an+2=2an+1-an得,an+2+an=2an+1,所以数列an是等差数列,又a5=4-a3,则a5+a3=4,所以S7=7(a1+a7)2=7(a3+a5)2=14,故选D.7.(2016广西来宾调研)若数列an的前n项和为Sn对任意正整数n都有Sn=2an-1,则S6等于.解析:因为Sn=2an-1,所以n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1.所以an=2an-1;当n=1时,S1=a1=2a1-1,解得a1=1,所以an是首项为1,公比为2的等比数列,所以S6=1-261-2=63.答案:638.(2016广西河池市适应性测试)已知数列an的前n项和Sn=n2,则数列1an+1-1的前n项和Tn=.解析:因为an=1,n=1,n2-(n-1)2,n2=1,n=1,2n-1,n2,所以an=2n-1,所以1an+1-1=1(2n+1)2-1=14(1n-1n+1),所以Tn=14(1-12+12-13+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4n+4.答案:n4n+49.(2016天津三模)在数列an中,an0,其前n项和Sn满足Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0.(1)求an的通项公式an;(2)若bn=an-52n,求b2+b4+b2n.解:(1)由Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得Sn-(n2+2n)(Sn+1)=0,由an0,可知Sn0,故Sn=n2+2n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-(n-1)2+2(n-1)=2n+1;当n=1时,a1=S1=3,符合上式,则数列an的通项公式为an=2n+1.(2)依题意,bn=an-52n=2n-42n=n-22n-1,则b2n=2n-222n-1=(n-1)(14)n-1,设Tn=b2+b4+b2n,故Tn=0+14+242+343+n-14n-1,4Tn=1+24+342+n-14n-2.两式相减,得3Tn=1+14+142+14n-2-n-14n-1=1-(14)n-11-14-n-14n-1=13(4-3n+14n-1),故Tn=19(4-3n+14n-1).能力提升10.(2016山西太原三模)已知Sn,Tn分别为数列1+1n2+1(n+1)2与2n+12n的前n项和,若SnT10+1 013,则n的最小值为(B)(A)1 023(B)1 024(C)1 025(D)1 026解析:因为1+1n2+1(n+1)2=1n(n+1)+12=1+1n(n+1)=1+1n-1n+1,所以Sn=1+1-12+1+12-13+1+1n-1n+1=n+1-1n+1,因为2n+12n=1+12n,所以T10=1+12+1+14+1+1210=10+12(1-1210)1-12=11-1210,因为SnT10+1 013,所以n+1-1n+111-1210+1 013=1 024-1210,而1 025-11 0251 024-1210,1 024-11 024=1 024-1210.故n的最小值为1 024,故选B.11.(2016福建“四地六校”联考)在数列an中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.记Sn是数列an的前n项和,则S200=.解析:当n为奇数时,an+2-an=1,得数列an的奇数项组成首项为1、公差为1的等差数列,故a1+a3+a199=1001+1009921=5 050;当n为偶数时,an+2+an=1,故a2+a4+a6+a200=50.所以S200=5 050+50=5 100.答案:5 10012.(2016湖南长沙一模)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=4Sn-1(nN*).(1)证明:an+2-an=4;(2)求数列an的通项公式.(1)证明:因为anan+1=4Sn-1,所以an+1an+2=3Sn+1-1,所以an+1an+2-anan+1=4an+1,因为an+10,所以an+2-an=4.(2)解:当n=1时,a1a2=4a1-1,因为a1=1,所以a2=3,由an+2-an=4,可知数列an的奇数项与偶数项分别为等差数列,公差为4,首项分别为1,3.所以当n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=1+4(k-1)=4k-3=2n-1;当n=2k(kN*)时,an=a2k=3+4(k-1)=4k-1=2n-1.所以an=2n-1.创新选做13.(2016山东德州一模)已知各项均为正数的等比数列an的首项a1=2,Sn为其前n项和,若5S1,S3,3S2成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2an,cn=2bnbn+1,记数列cn的前n项和为Tn,若对于任意的nN*,Tn(n+4)恒成立,求实数的取值范围.解:(1)设an的公比为q,因为5S1,S3,3S2成等差数列,所以2S3=5S1+3S2,即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q), 化简得2q2-q-6=0,解得q=2或q=-32.由已知,q=2,所以an=2n.(2)由bn=log2an得bn=log22n=n.所以cn=2bnbn+1=2n(n+1)=2(1n-1n+1).所以Tn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2(1