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不等式及恒成立经典例题例1 已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切xR，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x-3，1，f(x)0成立，求实数a的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x，f(x)0，则0，即(a-2)2-40，0a4；(2)当x-3，1时，f(x)0，对称轴2-a可在区间内，也可在区间外， 或 或 解得- a4例2 设A=x-2x-1,或x1，B=xx2+ax+b0，已知AB=xx-2，AB=x1x3，试求a,b的值.分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析.解：如图所示，设B=xx设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B“覆盖”住集合x-1x3，才能使AB=x1x3“-1且1”，并且-1及=3.=-1,=3.因此B=x-1x3，根据二次不等式与二次方程的关系，可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根.a=-(-1+3)=-2,b=(-1)3=-3.解恒成立问题常用方法1 分离参数法例3：设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n2，若当 时有意义, 求a的取值范围。解： 由时，有意义得：，由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是故 a例 2： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意求实数m范围，使 恒成立。解： f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数， f(x)在上为增函数 又 即 2， 2 m 令2 m4 即4m在上恒成立即求在上的最小值 2等号成立条件t=,即成立 4m4 m的取值范围为（4，）例 3： 设0a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式求正实数b的取值范围。简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A， B= 由题设知AB，则： () 于是得不等式组： 又 ，最小值为； 最小值为； , 即 ：b的取值范围是2 主参换位法例4：若对于任意a，函数的值恒大于0，求x的取值范围。解： 设 ，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 解得： 或或例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数
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