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不等式及恒成立经典例题例1 已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切xR,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.(2)如果对x-3,1,f(x)0成立,求实数a的取值范围.解:f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x,f(x)0,则0,即(a-2)2-40,0a4;(2)当x-3,1时,f(x)0,对称轴2-a可在区间内,也可在区间外, 或 或 解得- a4例2 设A=x-2x-1,或x1,B=xx2+ax+b0,已知AB=xx-2,AB=x1x3,试求a,b的值.分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析.解:如图所示,设B=xx设想集合B所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当B“覆盖”住集合x-1x3,才能使AB=x1x3“-1且1”,并且-1及=3.=-1,=3.因此B=x-1x3,根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根.a=-(-1+3)=-2,b=(-1)3=-3.解恒成立问题常用方法1 分离参数法例3:设,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n2,若当 时有意义, 求a的取值范围。解: 由时,有意义得:,由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是故 a例 2: 已知定义在R上函数f(x)为奇函数,且在上是增函数,对于任意求实数m范围,使 恒成立。解: f(x)在R上为奇函数,且在上是增函数, f(x)在上为增函数 又 即 2, 2 m 令2 m4 即4m在上恒成立即求在上的最小值 2等号成立条件t=,即成立 4m4 m的取值范围为(4,)例 3: 设0a,若满足不等式的 一切实数x,亦满足不等式求正实数b的取值范围。简析略解:此例看不出明显的恒成立问题,我们可以设法转化: 设集合A, B= 由题设知AB,则: () 于是得不等式组: 又 ,最小值为; 最小值为; , 即 :b的取值范围是2 主参换位法例4:若对于任意a,函数的值恒大于0,求x的取值范围。解: 设 ,把它看成关于a的直线,由题意知,直线恒在横轴下方。 所以 解得: 或或例 5: 对于(0,3)上的一切实数x,不等式恒成立,求实数
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