高考数学一轮复习 第3章 三角函数解三角形 第7节 三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例课时分层训练 文 北师大版

课时分层训练课时分层训练( (二十二二十二) ) 三角形中的几何计算、解三角形的实际应三角形中的几何计算、解三角形的实际应 用举例用举例 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1如图 379 所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔 A在观察站C的北偏东 20，灯塔B在观察站C的南偏东 40，则灯塔A与灯塔B的距离 为( ) 图 379 Aa km Ba km 3 C.a km D2a km 2 B B 在ABC中，ACBCa，ACB120， AB2a2a22a2cos 1203a2，ABa. 3 2如图 3710，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏 西 40，灯塔B在观察站南偏东 60，则灯塔A在灯塔B的( ) 图 3710 A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 D D 由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以 DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80. 3一艘海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( ) 【导学号：66482183】 A10海里 B10海里 23 C20海里 D20海里 32 A A 如图所示，易知，在ABC中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据 正弦定理得， BC sin 30 AB sin 45 解得BC10(海里) 2 4如图 3711，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀 速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头A驶到码头B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为 ( ) 图 3711 A8 km/h B6 km/h 2 C2 km/h D10 km/h 34 B B 设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得 22122 21 0.6 1 3 5 4 5 ( 1 10v) ( 1 10 2) 1 10 ，解得v6. 4 52 5如图 3712，两座相距 60 m 的建筑物AB，CD的高度分别为 20 m、50 m，BD为水 平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( ) 图 3712 A30 B45 C60 D75 B B 依题意可得AD20(m)，AC30(m)， 105 又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得 cosCAD AC2AD2CD2 2ACAD ， 30 5220 102502 2 30 5 20 10 6 000 6 000 2 2 2 又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为 45. 二、填空题 6在地上画一个BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走 10 米后， 拐弯往另一方向行走 14 米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则 B与D之间的距离为_米 16 如图所示，设BDx m，则 142102x2210xcos 60，整理得 x210x960，x6(舍去)，x16，x16(米) 7如图 3713，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正 东方向上，测得点A的仰角为 60，再由点C沿北偏东 15方向走 10 米到位置D，测得 BDC45，则塔AB的高是_米. 图 3713 【导学号：66482184】 10 在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105， 6 DBC30，BC10.在 RtABC中，tan 60 BC sin 45 CD sin 30 CDsin 45 sin 302 ，ABBCtan 6010(米) AB BC6 8如图 3714 所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15方向，与 海轮相距 20 海里的B处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 分钟后到达C处，又测得灯 塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟 图 3714 由已知得ACB45，B60， 6 3 由正弦定理得， AC sin B AB sinACB 所以AC10， ABsin B sinACB 20 sin 60 sin 456 所以海轮航行的速度为(海里/分钟) 10 6 30 6 3 三、解答题 9某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸 边设置两个观察点A，B，且AB长为 80 米，当航模在C处时，测得ABC105和 BAC30，经过 20 秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你 根据以上条件求出航模的速度(答案可保留根号) 图 3715 解 在ABD中，BAD90，ABD45， ADB45，ADAB80，BD80. 3 分 2 在ABC中， BC sin 30 AB sin 45 BC40. 6 分 ABsin 30 sin 45 80 1 2 2 22 在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60 (80)2(40)228040 9 600. 2222 1 2 DC40，航模的速度v2米/秒. 12 分 6 40 6 206 10如图 3716，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60方向的B处，且与岛屿A相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处 出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 图 3716 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin 的值. 【导学号：66482185】 解 (1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 3 分 在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784，解得BC28. 所以渔船甲的速度为14 海里/小时. 7 分 BC 2 (2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得 ，9 分 AB sin BC sin 120 即 sin . 12 分 ABsin 120 BC 12 3 2 28 3 3 14 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某 人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45，沿点A向北偏东 30前进 100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是 ( ) A50 m B100 m C120 m D150 m A A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60， ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60， 33 即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是 50 m 2(2014全国卷)如图 3717，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测 量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75； 从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m. 图 3717 150150 根据图示，AC100 m. 2 在MAC中，CMA180756045. 由正弦定理得AM100 m. AC sin 45 AM sin 603 在AMN中，sin 60， MN AM MN100150(m) 3 3 2 3已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海 拔高度分别为AM100 米和BN200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射 塔顶A的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100米后到达点Q，在点Q处 3 测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶A，B之 间的距离 图 3718 【导学号：66482186】 解 在 RtAMP中，APM30，AM100，PM100，连接QM(图略)，在 3 PQM中，QPM60，