高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 3 双曲线学案 苏教版选修

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.3.1双曲线的标准方程1.了解双曲线标准方程的推导过程.(难点)2.掌握双曲线两种标准方程的形式.(重点)基础初探教材整理双曲线的标准方程阅读教材P37P38例1以上部分，完成下列问题.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系b2c2a21.判断正误：(1)1表示焦点在y轴上的双曲线.()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0，且ab.()(3)双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是ab.()【解析】(1).方程1表示焦点在x轴上的双曲线.(2).当ab时方程也表示双曲线.(3).双曲线的标准方程中a，b的大小关系不确定.【答案】(1)(2)(3)2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，则C的方程是_.【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c3.又离心率为，故a2，b2c2a232225，故C的方程为1.【答案】1质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P，Q；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上；(3)与双曲线1有相同焦点且过点P(2,1).【精彩点拨】(1)设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0)，利用待定系数法求解；(2)已知焦点坐标，设双曲线方程为1(06)，把点(5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0)，因为双曲线过点P，Q，所以，解得，所以所求双曲线方程为1.(2)因为双曲线的焦点在x轴上，c，所以设所求双曲线方程为1(06).因为双曲线过点(5,2)，所以1，解得5或30(舍去).所以所求双曲线的标准方程是y21.(3)由题意，设双曲线方程为1(a0，b0).两双曲线有相同焦点，a2b2c242.又点P(2,1)在双曲线1上.1.由、联立，得a2b23.故所求双曲线方程为1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.(2)设方程：根据焦点位置，设方程为1或1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2ny21(mn0，n0)，则，双曲线方程为1.曲线类型的讨论已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.【精彩点拨】由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k的值分类讨论，确定曲线类型.【自主解答】(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆.将方程化为标准方程的形式，假如方程为1，(1)当mn0且m0，n0，mn时表示椭圆.(3)当mn0时表示圆.再练一题2.(1)双曲线x21的一个焦点是(2,0)，那么实数k的值为_. 【导学号：24830034】(2)若kR，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是_.【解析】(1)由已知c2，c2a2b2即1k4，k3.(2)由题意可知，解得3k2.【答案】(1)3(2)3k0，b0)中的参数来表示三角形PF1F2的面积？【提示】在三角形PF1F2中，F1F22c.由余弦定理可得F1FPFPF2PF1PF2cos (PF1PF2)22PF1PF2(1cos )，即4c24a22PF1PF2(1cos )，所以PF1PF2，所以SPF1F2PF1PF2sin .探究3设点F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则三角形PF1F2叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？ 【提示】要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式.如图231所示，已知双曲线中c2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，F1PF260；SF1PF212.求双曲线的标准方程.图231【精彩点拨】设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程.【自主解答】由题意可知双曲线的标准方程为1.由于|PF1PF2|2a，在F1PF2中，由余弦定理得cos 60所以PF1PF24(c2a2)4b2，所以SF1PF2PF1PF2sin 602b2b2，从而有b212，所以b212，c2a，结合c2a2b2，得a24.所以双曲线的标准方程为1.1.在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形(称为焦点三角形)的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理(或正、余弦定理)等知识入手来解决问题.2.在解题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成(PF1PF2)2，另一个配成(PF1PF2)2.再练一题3.(2016徐州高二检测)设P为双曲线x21上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若PF1PF232，则PF1F2的面积为_. 【导学号：24830035】【解析】由已知得2a2，又由双曲线的定义得，|PF1PF2|2，又PF1PF232，PF16，PF24.又F1F22c2.由余弦定理得cos F1PF20.三角形为直角三角形.SPF1F26412.【答案】12构建体系1.双曲线1的焦距为_.【解析】c2m2124m216，c4,2c8.【答案】82.满足条件a2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为_.【解析】由a2，c4，得b2c2a212，又一焦点(4,0)在x轴上，双曲线的标准方程为1.【答案】13.双曲线1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为_.【解析】a225，a5，由双曲线定义可得|PF1PF2|10，由题意知PF112，|PF1PF2|10，PF222或2.【答案】22或24.设双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且PF1PF234，则PF1F2的面积等于_.【解析】依题意F1F26，PF2PF12，因为PF1PF234，所以PF16，PF28，所以等腰PF1F2的面积S88.【答案】85.如图232所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.图232【解】圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心M的轨迹方程是1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(八)双曲线的标准方程(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则m的值是_.【解析】验证法：当m1时，m21，对椭圆来说，a24，b21，c23.对双曲线来说，a21，b22，c23，故当m1时，它们有相同的焦点.直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4m2m22.m21，即m1.【答案】12.已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(5,2)，则双曲线的标准方程为_. 【导学号：24830036】【解析】依题意可设双曲线方程为1(a0，b0)，则有解得故双曲线的标准方程为y21.【答案】y213.(2016通州高二检测)已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1(2,0)，F2(2,0)，点P(3，)在双曲线上，则双曲线方程为_.【解析】PF14，PF22，PF1|PF222a，所以a，又c2，故b2c2a22，所以双曲线的方程为1.【答案】14.若双曲线2x2y2k的半焦距为3，则k的值为_.【解析】若焦点在x轴上，则方程可化为1，k32，即k6.若焦点在y轴上，则方程可化为1，k32，即k6.综上，k的值为6或6.【答案】6或65.若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是_.【解析】由题意，方程可化为3，解得m0，b0)，则将a4代入，得1，又点A(4，3)在双曲线上，1.解得b29，则1，若所求双曲线方程为1(a0，b0).同上，解得b20，不合题意，双曲线的方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn1时，t20，t210，且t2t21，曲线C为椭圆；当|t|0，t211时，曲线C是椭圆，且t2t21，因此c2a2b2t2(t21)1，焦点为F1(1,0)，F2(1,0).当|t|0，b0)，且c3，a2b29.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)、B(，4)，由点A在双曲线上知，1.解方程组得所求曲线的方程为1.【答案】13.方程1表示的曲线为C，给出下列四个命题：曲线C不可能为圆；若1k4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k0，k时，方程表示圆，故错误；当4k0，k10且4kk1即1k4且k时，曲线表示椭圆，故错误；当(4k)(k1)4或kk10，即1k0，b0)为例.e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.1.判断正误：(1)等轴双曲线的离心率是.()(2)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()(3)离心率越大，双曲线1的渐近线斜率绝对值越大.()【解析】(1).因为ab，所以ca，所以e.(2).由1，得yx，所以渐近线方程为yx.(3).由(e1)，所以e越大，渐近线yx斜率的绝对值越大.【答案】(1)(2)(3)2.双曲线x21的渐近线方程为_，离心率e_. 【导学号：24830038】【解析】a1，b，渐近线方程为yx，离心率e2.【答案】yx2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型由双曲线的标准方程求几何性质求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【精彩点拨】化为标准方程形式求出a、b、c得双曲线的几何性质【自主解答】把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标(，0)，(，0)，离心率e.顶点坐标为(，0)，(，0).渐近线的方程为yxx.1.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值.(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.2.(1)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆a2b2c2，而对双曲线则是c2a2b2；对椭圆e，对双曲线则是e.(2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到.再练一题1.求双曲线y22x21的离心率和渐近线方程.【导学号：24830039】【解】双曲线方程化为标准方程形式为1.a21，b2，焦点在y轴上.a1，b，c2，c.e，渐近线方程为yx.由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)离心率为2，焦点到渐近线的距离等于；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)与双曲线x22y22有公共的渐近线，且过点M(2，2).【精彩点拨】分析双曲线的几何性质求a，b，c确定讨论焦点位置求双曲线的标准方程【自主解答】(1)依题意，b，2a1，c2，双曲线的方程为x21或y21.(2)方法一：当焦点在x轴上时，且a3，b.所求的方程为1.当焦点在y轴上时，且a3，b2.所求的方程为1.方法二：设以yx为渐近线的双曲线方程为(0).当0时，a24，2a26；当0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_.【解析】由题意知，椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是1.【答案】1探究共研型双曲线的离心率探究1双曲线离心率的定义式是什么？你能从其定义式得到其离心率的范围吗？【提示】e，因为c2a2b2，所以ca0，所以e1.探究2利用a，b，c的关系c2a2b2，双曲线的离心率还有其它表达方式吗？【提示】e或e.探究3根据探究2可知，求双曲线的离心率并不一定要求出a，b，c的具体数值，只要知道a，b，c三个参数中任意两个的比值就可以求出离心率，如果c2ac2a20，那么双曲线的离心率是什么？【提示】由c2ac2a20可得220，即e2e20，所以(e1)(e2)0，因为e1，所以e2.探究4如何求双曲线的离心率的取值范围？【提示】解关于离心率e的不等式，或者利用基本不等式、双曲线上点的坐标的范围求出或的取值范围可求离心率的取值范围.(1)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(PF1PF2)2b23ab，则该双曲线的离心率为_.(2)已知双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是_.【精彩点拨】(1)(PF1PF2)2b23ab4a2b23ab离心率(2)利用双曲线的定义及基本不等式寻找a，c之间的不等关系，可求出双曲线离心率的取值范围.【自主解答】(1)由双曲线的定义知，(PF1PF2)24a2，又(PF1PF2)2b23ab，所以4a2b23ab，等号两边同除a2，化简得2340，解得4，或1(舍去)故离心率e.(2)因为P为双曲线右支上的任意一点，所以PF12aPF2，所以PF24a24a8a，当且仅当PF22a，PF14a，可得2a4a2c解得e3，又因为双曲线离心率大于1，故答案为(1,3.【答案】(1)(2)(1,3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e求解.(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2c2a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e，转化为关于e的n次方程求解.再练一题3.双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为_.【导学号：24830040】【解析】依题意1，ab.则e22，e.【答案】构建体系1.双曲线2x2y28的实轴长是_.【解析】双曲线的标准方程为1，a24，2a4.【答案】42.双曲线1的渐近线方程是_.【解析】焦点在x轴上，a2，b3，渐近线方程为：yx，即yx.【答案】yx3.已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为_.【解析】由离心率为，e212，即ab，双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2y2(0)，又点P(1,3)在双曲线上，则198，所求双曲线的标准方程为1. 【答案】14.双曲线的渐近线方程为yx，则离心率为_. 【导学号：24830041】【解析】当焦点在x轴上时，e；当焦点在y轴上时，e.【答案】或5.双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线为yx，求双曲线的标准方程和离心率.【解】由椭圆1，知c2641648，且焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为yx，设双曲线方程为1.又c22a248，a224.所求双曲线的方程为1.由a224，c248，得e22，又e0，e.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(九)双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.双曲线3x2y23的渐近线方程是 _.【解析】令x20，则yx.【答案】yx2.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于_.【解析】双曲线方程化为标准形式：y21，则有：a21，b2，由题设条件知，2，m.【答案】3.对于方程y21和y2(0且1)所表示的双曲线有如下结论：(1)有相同的顶点； (2)有相同的焦点； (3)有相同的离心率； (4)有相同的渐近线.其中正确的是_.【解析】对于方程y21，a2，b1，c；对于方程y2，a2，b，c，显然a、b、c分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线.【答案】(3)(4)4.已知双曲线的焦点为(4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为_.【解析】e2，c4，a2，b2c2a212，且焦点在x轴上，故标准方程为1.【答案】15.已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_.【解析】由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所求渐近线方程为yx.【答案】yx6.与椭圆1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为_.【解析】椭圆的焦点是(0,4)，(0，4)，c4，e，双曲线的离心率等于2，2，a2.b2422212.双曲线的标准方程为1.【答案】17.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为_. 【导学号：24830042】【解析】由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c5，a3，双曲线方程为1.渐近线方程为0，即0.【答案】4x3y08.(2016徐州高二检测)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是_. 【解析】如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1PF2.在RtPF1F2中，PF2F1F2sin 602cc.PF1F1F2cos 602cc，PF2PF12a，ac.e1.【答案】1 二、解答题9.求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程：yxx.10.求适合下列条件的双曲线