高中数学 2_4_2 抛物线的几何性质学案 新人教b版选修2-1

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.4.2抛物线的几何性质1掌握抛物线的几何性质(重点)2掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)基础初探教材整理抛物线的几何性质阅读教材P61，完成下列问题.标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yR_对称轴_顶点_离心率_开口方向向右向左向上向下【答案】y0，xRy0，xRx轴y轴(0,0)e1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用抛物线的性质求抛物线方程已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，求抛物线的标准方程【精彩点拨】由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A，B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值，进而写出标准方程【自主解答】由已知得2，所以4，解得，即渐近线方程为yx.而抛物线准线方程为x，于是A，B，从而AOB的面积为p，可得p2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y24x.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离为.再练一题1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程【解】椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.抛物线几何性质的应用正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长【精彩点拨】先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长【自主解答】如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又OAOB，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p，|AB|2y14p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质再练一题2等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则RtABO的面积是() 【导学号：15460047】A8p2B4p2C2p2 Dp2【解析】由抛物线的对称性，可知kOA1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)，SABO2p4p4p2.【答案】B探究共研型抛物线的焦点弦及其它弦的问题探究1直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，求|AB|.【提示】|AB|AF|BF|x1x2x1x2p.探究2解决焦点弦问题需注意什么？【提示】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程【精彩点拨】法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；法二：设直线AB的方程，建立方程求解【自主解答】法一设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22，y1y24(x1x2)，即4，k4.所求弦AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.法二设弦AB所在直线的方程为yk(x4)1.联立消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数得y1y2.又y1y22，k4.所求弦AB所在直线的方程为4xy150.直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|AB|x1x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y22px(p0)的焦点时，弦长|AB|x1x2p.(3)“中点弦”问题解题策略方法再练一题3已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点(1)若|AB|10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值【解】由得x2(2m8)xm20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m28m.(1)因为|AB|10，所以m.(2)因为OAOB，所以x1x2y1y2m28m0，解得m8，m0(舍去)，所以m8.构建体系1顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于4的抛物线的标准方程是()Ay24xBx216yCy216x Dy28x【解析】依题意知抛物线的方程为y22px(p0)，又4，p8,2p16，故方程为y216x.【答案】C2若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A. BC. D【解析】线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.【答案】A3已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_. 【导学号：15460048】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p，|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是.【答案】4若直线axy10经过抛物线y24x的焦点，则实数a_.【解析】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程得a1010，a1.【答案】15设直线y2xb与抛物线y24x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值【解】由消去y，得4x24(b1)xb20.由0，得b.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x21b，x1x2.|x1x2|.|AB|x1x2|3.12b9，即b4.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A2B1C4D8【解析】抛物线y22px(p0)的准线为x，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以68，所以p4，即焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.【答案】C2抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为()A2 B4 C6 D4【解析】据题意知，FPM为等边三角形，|PF|PM|FM|，PM抛物线的准线设P，则M(1，m)，等边三角形边长为1，又由F(1,0)，|PM|FM|，得1，得m2，等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.【答案】D3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得得，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)又y1y24，k1，p2.所求抛物线的准线方程为x1.【答案】B4设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6 C12 D7【解析】焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x212，故选C.【答案】C5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x26，那么|AB|等于()A10 B8 C6 D4【解析】由题意知p2，|AB|x1x2p8.故选B.【答案】B二、填空题6抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_【解析】设抛物线上点的坐标为(x，)，此点到准线的距离为x，到顶点的距离为，由题意有x，x，y，此点坐标为.【答案】7直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.【解析】当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联立方程消去y得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.【答案】0或18平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_. 【导学号：15460049】【解析】设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y24x.过点P(1,0)，斜率为k的直线为yk(x1)由得ky24y4k0.当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，解得k1或k0)的焦点为F，过F作倾斜角为30的直线与抛物线交于A，B两点，若(0,1)，则()A. B C D【解析】因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30的直线的方程为yx，与抛物线方程联立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以，故选C.【答案】C2已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k()A. B C D2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24，所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416，因为0，所以(x12)(x22)(y12)(y22)0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k24k40，所以k2，故选D.【答案】D3抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_. 【导学号：15460050】【解析】由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为A，B，所以AB2.由ABF为等边三角形，得ABp，解得p6.【答案】64已知抛物线xy2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点