高中数学 第1章 解三角形 1_3 正弦定理、余弦定理的应用学案 苏教版必修5

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.3正弦定理、余弦定理的应用1巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程(重点)2能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(难点)3方向角与方位角的区分及应用(易混点)基础初探教材整理方位角阅读教材P18例2的有关内容，完成下列问题方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)方位角和方向角是同一个概念()(2)从A处望B处的仰角为 ，从B处望A处的俯角为，则.()(3)从C地看A，B二人的方位角分别为30，45，则ACB为75.()(4)甲看乙南偏东30，则乙看甲北偏西30.()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型正、余弦定理在物理学中的应用如图131，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力试求杆OA，OB所受的力图131【精彩点拨】先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解【自主解答】如图，作F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作OCED，则F1，F2.由题设条件可知，|10，OCE50，OEC70，所以COE180507060.在OCE中，由正弦定理，得，因此，|F1|11.3，|F2|12.3.答：灯杆OA所受的拉力为11.3 N，灯杆OB所受的压力为12.3 N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解再练一题1作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡已知F130 N，F250 N，F1与F2之间的夹角是60，求F3的大小与方向(精确到0.1)【解】F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在OF1F中，由余弦定理，得F70(N)，再由正弦定理，得sinF1OF，所以F1OF38.2，从而F1OF3141.8.答：F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8.正、余弦定理在几何中的应用如图132，某公园内有一块边长为2的等边ABC的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两份，点D在AB上，点E在AC上设ADx(x0)，DEy，求用x表示y的函数关系式图132【精彩点拨】由SADESABC得出AE，再在ADE中由余弦定理求DE.【自主解答】ABBCAC2，SABC22sin 60，SADESABC.又SADEADAEsin 60xAE，由xAE，得AE.在ADE中，由余弦定理得y2x22xcos 60x22，y.又由AE2可知1，1x2.y关于x的函数为：y(1x2)1求解此类问题的关键是利用正、余弦定理建模，求解时，要分清已知哪些条件，如何把待求和已知化归到同一个三角形中2函数建模时，要注意函数的定义域，如本题(2)中隐含“AE(0,2)”再练一题2.如图133所示，在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD，BCD是正三角形图133(1)将四边形ABCD的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值【解】(1)ABD的面积S111sin sin ，由于BCD是正三角形，则BCD的面积S2BD2.在ABD中，由余弦定理可知BD21212211cos 22cos ，于是四边形ABCD的面积Ssin (22cos )，Ssin，0.(2)由Ssin及0，得7x，知B也为钝角，不符合要求)由余弦定理，得(7x)2(8x)215228x15cos 60，x28x150.x3或x5，AB21或AB35.在ABC中，ADABsin BAB，AD12或AD20.能力提升1.如图1317，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为_m.图1317【解析】连结OC，在三角形OCD中，OD100，CD150，CDO60，由余弦定理可得OC210021502210015017 500，OC50.【答案】502如图1318所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_ m.图1318【解析】在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)【答案】103甲船在岛B的正南A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_小时. 【导学号：91730017】【解析】设行驶x h后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则DBC18060120.y2(104x)2(6x)22(104x)6xcos 12028x220x100282100，当x时，y2有最小值，即两船相距最近【答案】4如图1319，在ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cos B，cos ADC.图1319(1)求sin BAD的值；(2)求AC边的长【解】(1)因为cos B，所以sin B.又cos ADC，所以sin ADC.所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得，即，解得BD2.故DC