高考数学大一轮复习第五章平面向量5_3平面向量的数量积课件文新人教版

5.3 平面向量的数量积 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 a， b，则 就是向量a与b的夹 角，向量夹角的范围是： . 知识梳理 AOB 0， 定义 设两个非零向量a，b的夹角为，则数量 叫做a 与b的数量积，记作ab 投影 叫做向量a在b方向上的投影， 叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的 乘积 2.平面向量的数量积 |a|b|cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角.则 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)当a与b同向时，ab|a|b|； 当a与b反向时，ab|a|b|. 特别地，aa 或|a| . (4)cos . (5)|ab| . ab0 |a|b| |a|2 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ； (2)(a)b (为实数)； (3)(ab)c . 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到 (1)若a(x，y)，则|a|2 或|a| . (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB| | . ba (ab)a(b) acbc x1x2y1y2 x2y2 (3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则ab . (4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角， 则cos . x1x2y1y20 1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2. 知识拓展 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结 果是向量.( ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)两个向量的夹角的范围是0， .( ) 1.(教材改编)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k等于 A.12 B.6 C.6 D.12 考点自测 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12. 答案 解析 2.(2017南宁质检)已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b| 等于 答案 解析 4a24abb21， 答案 解析 A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 故平行四边形的对角线垂直， 所以该四边形一定是菱形，故选C. 答案 解析 设a与b的夹角为， 5.(2016厦门模拟)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则 |ab|_. 答案 解析 ab，ab0，即x20，x2， a(2,1)，a25，b25， 题型分类 深度剖析 例1 (1)(2016天津)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别 是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为 题型一 平面向量数量积的运算 答案 解析 如图，由条件可知 因为ABC是边长为1的等边三角形， (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值 为_； 的最大值为_. 答案 解析 11 几何画板展示 方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)， 设E(t,0)，t0,1， 方法二 由图知，无论E点在哪个位置， 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b| cosa，b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)， b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 思维升华 跟踪训练1 则 ABC等于 答案 解析 A.30 B.45 C.60 D.120 又0ABC180，ABC30. A.20 B. 15 C.9 D.6 答案 解析 故选C. 例2 题型二 平面向量数量积的应用 答案 解析 命题点1 求向量的模 2 (2)在平面直角坐标系中，O为原点， 答案 解析 动点 即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆. 例3 向量a3e12e2 与b3e1e2的夹角为，则cos _. 答案 解析 命题点2 求向量的夹角 因为b2(3e1e2)2923112cos 18， 所以|b|2 ， 因为a2(3e12e2)2923212cos 49， 所以|a|3， 2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0， 即(2k3，6)(2,1)0，4k660， k3. 又若(2a3b)c，则2k312，即k . 当k 时，2a3b(12，6)6c， 即2a3b与c反向. 综上，k的取值范围为 . (2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角 ， 则k的取值范围是_. 答案 解析 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，. (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab 0|ab|ab|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： 跟踪训练2 9 答案 解析 答案 解析 (1)若mn，求tan x的值； 例4 (2015广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ， n(sin x，cos x)，x . 题型三 平面向量与三角函数 解答 所以sin xcos x，所以tan x1. (2)若m与n的夹角为 ，求x的值. 解答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或 垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量 的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的 有界性，求得值域等. 思维升华 跟踪训练3 由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0， 即6sin25sin cos 4cos20， 上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40， 由于 ， 则tan 0，解得tan ，故选A. 答案 解析 由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形， 答案 解析 1 所以|ab|2|a|2|b|22， 解析 错解中，cos 0包含了，即 反向的情况，此时a1 ，故 夹角为钝角的充要条件是0a2且a1. 利用数量积求向量夹角 现场纠错系列6 错解展示 纠错心得 已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)， B(3,3).求使向量 与 夹角为钝角的充要条件. 典例 现场纠错 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的 情况 返回 课时作业 A. x B.x1 C.x5 D.x0 1.(2016北师大附中模拟)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要 条件是 答案 12345678910 11 12 13 A.2 B.2 C.4 D.12 2.若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|等于 答案 解析 |ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60 44222 12， |ab|2 . 12345678910 11 12 13 3.(2016山西四校二联)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b| 1，则向量a与b夹角的正弦值为 答案 解析 a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3， cosa，b ， 又a，b0， 12345678910 11 12 13 4.如图，在ABC中，若 ， AB2，AC1，E，F为BC边的三等分点，则 等于 答案 解析 12345678910 11 12 13 12345678910 11 12 13 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案 解析 所以ABC是等腰三角形，故选C. 12345678910 11 12 13 答案 解析 如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量的加法的几何意 义得 12345678910 11 12 13 7.在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足 ，则 的值为_.4 答案 解析 由题意得，AP2，PM1， 12345678910 11 12 13 答案 解析 由三角形面积公式及已知条件知 12345678910 11 12 13 9.(2016江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，ACB90， ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则 _.4 由题意可建立如图所示的坐标系， 可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)， 答案 解析 12345678910 11 12 13 13 建立如图所示坐标系， 答案 解析 12345678910 11 12 13 11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角； 解答 因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6， 12345678910 11 12 13 |ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213， 所以|ab| . (2)求|ab|； 解答 12345678910 11 12 13 解答 12345678910 11 12 13 12.(2016西安八校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且2sin2 cos 2C1. (1)求角C的大小； 解答 12345678910 11 12 13 2cos2Ccos C10， (2)若向量m(3a，b)，向量n(a， )，mn，(mn)(mn)16，