高中数学 1_1_1 角的概念的推广学案 新人教b版必修4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线1.1.1角的概念的推广1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角.2.理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)基础初探教材整理1角的概念阅读教材P3P4“例1”以上内容，完成下列问题.1.角的概念(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：正角：按照逆时针方向旋转而成的角；负角：按照顺时针方向旋转而成的角；零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.2.角的加减法运算(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作AOB，其中OA叫做AOB的始边，OB叫做AOB的终边.(2)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以化为().这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和.时钟经过1小时，时针转动的角的大小是_.【解析】时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的，所以转动的角的大小是36030.【答案】30教材整理2终边相同的角阅读教材P4“例1”以下P5“第4行”以上内容，完成下列问题.1.前提：表示任意角.2.表示：所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为S|k360，kZ.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.()(2)终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍.()(3)终边相同的角的表示不唯一.()【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.【答案】(1)(2)(3)教材整理3象限角阅读教材P5“第5行”“例2”以上内容，完成下列问题.1.象限角：平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合.这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.2.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.下列说法：第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角.其中错误的序号为_.(把错误的序号都写上)【解析】由象限角定义可知都不正确.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型任意角的概念(1)已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下面关系正确的是()A.ABC B.ACC.ACB D.BCC(2)下面与85012终边相同的角是()A.23012 B.22948C.12948 D.13012【精彩点拨】正确理解第一象限角、锐角、小于90的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示为k360k36090，kZ；锐角可表示为090；小于90的角可表示为90；由三者之间的关系可知，选D.(2)与85012终边相同的角可表示为85012k360(kZ)，当k3时，850121 08022948.【答案】(1)D(2)B1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2.在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角化成k360的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到要求为止.常见360的倍数如下：1360360，2360720，33601 080，43601 440，53601 800.再练一题1.有下列说法：相差360整数倍的两个角，其终边不一定相同；终边相同的角一定相等；终边关于x轴对称的两个角，之和为k360，(kZ).其中正确说法的序号是_.【导学号：72010000】【解析】不正确.终边相同的两个角一定相差360的整数倍，反之也成立；不正确.由可知终边相同的两个角一定相差k360，(kZ)；正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当(180，180)，且(180，180)时0，当，为任意角时，k360(kZ).【答案】象限角与区域角的表示(1)如图111，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()图111A.|k36030k36045，kZB.|k180150k180225，kZC.|k360150k360225，kZD.|k36030k18045，kZ(2)已知角的终边在如图112所示的阴影部分内，试指出角的取值范围.图112【精彩点拨】找出0360内阴影部分的角的集合适合题意的角的集合【自主解答】(1)在0360内落在阴影部分角的范围为大于150而小于225，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为|k360150k360225，kZ.【答案】C(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：A|k36060k360105，kZ.阴影在x轴下方部分的角的集合为：B|k360240k360285，kZ.所以阴影部分内角的取值范围是AB，即|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ)，其中B可以化为：|k36018060k360180105，kZ.即|(2m1)18060(2m1)180105，mZ.集合A可以化为|2m180602m180105，mZ.故AB可化为|n18060n180105，nZ.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合.再练一题2.写出图113中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.图113【解】在180180内落在阴影部分角集合为大于45小于45，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为|45k36045k360，kZ.探究共研型所在象限的判定方法及角的终边对称问题探究1由所在象限如何求(kN*)所在象限？【提示】(1)画图法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当在第n象限时，就在n号区域.例如：当角在第二象限时，在图k2时的2号区域，在图k3时的2号区域.但此规律有局限性，如在已知角的范围求角2的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法.(2)代数推导法：运用代数式一步一步推理.如：当角在第二象限时，90k360180k360，kZ，则30k12060k120，kZ，所以在第一、二、四象限.探究2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与分别具有怎样的关系？【提示】(1)关于y轴对称：若角与的终边关于y轴对称，则角与的关系是180k360，kZ.(2)关于x轴对称：若角与的终边关于x轴对称，则角与的关系是k360，kZ.(3)关于原点对称：若角与的终边关于原点对称，则角与的关系是180k360，kZ.(4)关于直线yx对称：若角与的终边关于直线yx对称，则角与的关系是90k360，kZ.(1)(2016北京高一检测)若是第四象限角，则180是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)已知为第二象限角，则2，分别是第几象限角？【精彩点拨】(1)可通过写出的取值范围，逐步求得180范围来求解；(2)可由范围写出2，的范围后，直接求得2的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置.【自主解答】(1)因为是第四象限角，则角应满足：k36090k360，kZ，所以k360k36090，则k360180180k36090180，kZ，当k0时，180180270，故180为第三象限角.【答案】C(2)是第二象限角，90k360180k360，1802k36023602k360，kZ，2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角.同理4536090360.当k为偶数时，不妨令k2n，nZ，则45n36090n360，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nZ，则225n360270n360，此时，为第三象限角.为第一或第三象限角.解决此类问题，要先确定的范围，进一步确定出n或的范围，再根据k与n的关系进行讨论.再练一题3.本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？【解】是第二象限角，90k360180k360，kZ，30k12060k120，kZ.当k3n，nZ时，30n36060n360，nZ此时为第一象限角，当k3n1，nZ时，150n360180n360，nZ，此时为第二象限角，当k3n2，nZ时，270n360300n360，nZ，此时为第四象限角.为第一、第二或第四象限角.1.若是第一象限角，则是()A.第一象限角B.第一、四象限角C.第二象限角 D.第二、四象限角【解析】因为是第一象限角，所以为第一、三象限角，所以是第二、四象限角.【答案】D2.与457角终边相同的角的集合是()A.|k360457，kZB.|k36097，kZC.|k360263，kZD.|k360263，kZ【解析】当选项C的集合中k2时，457.【答案】C3.下列各角中，与330角的终边相同的角是()A.510 B.150C.150 D.390【解析】与330终边相同的角的集合为S|330k360，kZ，当k2时，330720390，故选D.【答案】D4.若角与角终边相同，则_.【解析】根据终边相同角的定义可知：k360(kZ).【答案】k360(kZ)5.在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)120；(2)640.【导学号：72010001】【解】(1)与120终边相同的角的集合为M|120k360，kZ.当k1时，1201360240，在0到360范围内，与120终边相同的角是240，它是第三象限的角.(2)与640终边相同的角的集合为M|640k360，kZ.当k1时，640360280，在0到360范围内，与640终边相同的角为280，它是第四象限的角.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.已知A第二象限角，B钝角，C大于90的角，那么A，B，C关系是()A.BAC B.BCCC.AC D.ABC【解析】钝角大于90，小于180，故CB，选项B正确.【答案】B2.下列是第三象限角的是()A.110 B.210 C.80 D.13【解析】110是第三象限角，210是第二象限角，80是第一象限角，13是第四象限角.故选A.【答案】A3.终边与坐标轴重合的角的集合是()A.|k360，kZB.|k18090，kZC.|k180，kZD.|k90，kZ【解析】终边在坐标轴上的角为90或90的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为|k90，kZ.故选D.【答案】D4.若是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是()A.90 B.90C.360 D.180【解析】因为是第一象限角，所以为第四象限角，所以360为第四象限角.【答案】C5.在平面直角坐标系中，若角与角的终边互为反向延长线，则必有()A.B.k180(kZ)C.180D.2k180180(kZ)【解析】因为角与角的终边互为反向延长线，所以角与角的终边关于原点对称，所以2k180180(kZ).【答案】D二、填空题6.在0360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为_.【解析】根据终边相同角定义知，与60终边相同角可表示为60k360(kZ)，当k1时300与60终边相同，终边在其反向延长线上且在0360范围内角为120.故填120，300.【答案】120，3007.设集合Ax|k36060xk360300，kZ，Bx|k360210xk360，kZ，则AB_.【导学号：72010002】【解析】ABx|k36060xk360300，kZx|k360360150xk360360360，kZx|k36060xk360300，kZx|(k1)360150x(k1)360360，kZx|k360150xk360300，kZ【答案】x|k360150xk360300，kZ三、解答题8.在与530终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)720到360的角.【解】与530终边相同的角为k360530，kZ.(1)由360k3605300，且kZ可得k2，故所求的最大负角为190.(2)由0k360530360且kZ可得k1，故所求的最小正角为170.(3)由720k360530360且kZ得k3，故所求的角为550.9.若角的终边落在直线yx上，写出角的集合；当360360时，求角.【解】角的终边落在直线yx上，在0到360范围内的角为150和330，角的集合为x|xk180150，kZ.当360360时，角为210，30，150，330.能力提升1.如图114，终边落在直线yx上的角的集合是()图114A.|k36045，kZB.|k18045，kZC.|k18045，kZD.|k9045，kZ【解析】终边落在直线yx在0，360)内角有45，135，225和315共四个角，相邻两角之间均相差90，故终边落在直线yx上的角的集合为|k9