高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第4节 垂直关系课时分层训练 文 北师大版

课时分层训练课时分层训练( (三十九三十九) ) 垂直关系垂直关系 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1(2017西安六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平 面，下面给出的条件中一定能推出m的是( ) A且m B且m Cmn且n Dmn且 C C 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确 2(2017天津河西模拟)设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确 的是( ) A若l，l，则 B若l，l，则 C若，l，则l D若，l，则l B B A 中，或与相交，不正确B 中，过直线l作平面，设 l，则ll， 由l，知l，从而，B 正确 C 中，l或l，C 不正确 对于 D 中，l与的位置关系不确定 3如图 7410，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四 个结论不成立的是( ) 图 7410 ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面PAE D平面PDE平面ABC D D 因为BCDF，DF平面PDF， BC平面PDF， 所以BC平面PDF，故选项 A 正确 在正四面体中，AEBC，PEBC，DFBC， 所以BC平面PAE，则DF平面PAE，从而平面PDF平面PAE.因此选项 B，C 均正 确 4(2017南昌二模)已知，是两不重合的平面，直线m，直线n，则 “，相交”是“直线m，n异面”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 B B 分别垂直于两个相交平面的两条直线可能异面，也可能相交，所以“，相交” 不一定有“直线m，n异面” ；而当直线m，n异面时，两个平面不可能平行，否则若 ，则必有mn，与直线m，n异面矛盾因此“，相交”是“直线m，n异面” 的必要不充分条件，故选 B. 5如图 7411，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命 题中正确的是( ) 图 7411 A平面ABC平面ABD B平面ABD平面BCD C平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE D平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE C C 因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面 BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面 BDE. 二、填空题 6如图 7412 所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是 正确的条件即可)DMPC(或BMPC等) 由定理可知，BDPC. 图 7412 当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD. 又PC平面PCD，平面MBD平面PCD. 7如图 7413，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是 侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_ 【导学号：66482338】 图 7413 取BC的中点E，连接AE，DE，则AE平面BB1C1C. 3 所以ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角 设三棱柱的所有棱长为a， 在 RtAED中， AEa，DE . 3 2 a 2 所以 tanADE，则ADE. AE DE3 3 故AD与平面BB1C1C所成的角为. 3 8(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么. 如果m，n，那么mn. 如果，m，那么m. 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误 对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所 以mn，故正确 对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点， 由线面平行的定义可知m，故正确 对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所 以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相 等，故正确 三、解答题 9. (2015北京高考)在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形， ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点 2 图 7414 (1)求证：VB平面MOC； (2)求证：平面MOC平面VAB； (3)求三棱锥VABC的体积 解 (1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以OMVB. 3 分 又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC. 5 分 (2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB. 又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC， 所以OC平面VAB. 所以平面MOC平面VAB. 8 分 (3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC， 2 所以AB2，OC1. 所以等边三角形VAB的面积SVAB. 9 分 3 又因为OC平面VAB， 所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB. 1 3 3 3 又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为 . 12 分 3 3 10O的直径AB4，点C，D为O上两点，且CAB45，F为的中点沿直 BC 径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图 7415) 图 7415 (1)求证：OF平面ACD； (2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若 不存在，请说明理由 解 (1)证明：由CAB45，知COB90，1 分 又因为F为的中点， 所以FOB45，因此OFAC，3 分 又AC平面ACD，OF平面ACD， 所以OF平面ACD. 5 分 (2)存在，E为AD中点， 因为OAOD，所以OEAD. 7 分 又OCAB且两半圆所在平面互相垂直 所以OC平面OAD. 9 分 又AD平面OAD，所以ADOC， 由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线， 所以AD平面OCE. 又AD平面ACD， 所以平面OCE平面ACD. 12 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1(2017贵州贵阳二模)如图 7416，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中 点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为 P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( ) 图 7416 AO是AEF的垂心 BO是AEF的内心 CO是AEF的外心 DO是AEF的重心 A A 由题意可知PA，PE，PF两两垂直， 所以PA平面PEF，从而PAEF， 而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP， 所以EF平面PAO， 所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO， 所以O为AEF的垂心 2如图 7417，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直 角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当 AF_时，CF平面B1DF. 图 7417 【导学号：66482339】 a或 2a B1D平面A1ACC1，CFB1D. 为了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F) 设AFx，则CD2DF2FC2， x23ax2a20，xa或x2a. 3(2016四川高考)如图 7418，在四棱锥PABCD中， PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD. 1 2 图 7418 (1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； (2)证明：平面PAB平面PBD. 解 (1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点 理由如下：连接CM， 因为ADBC，BCAD， 1 2 所以BCAM，且BCAM. 2 分 所以四边形AMCB是平行四边形， 所以CMAB. 又AB平面PAB，CM平面PAB， 所以CM平面PAB. (说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)5 分 (2)证明：由已知，PAAB，PACD， 因为AD