[理学]3_5初等矩阵.ppt

第五节 矩阵的初等变换及初等矩阵 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 一、矩阵的初等变换 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等 变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相 同 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把 “r”换成“c”) 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 特点： （1）、可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）、每个台阶 只 有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第 一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元 称为行阶梯形矩阵 , 称为行最简形矩阵 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶 梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准 形 (F称为矩阵 的标 准形,其特点是左上 角是一个单位矩阵, 其余元素全为零) 二、初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广 泛. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 定义 由 阶单位矩阵 经过一次初等变换得到的 方阵称为 阶初等矩阵. (第一种 初等阵) 以数 乘 的第 行(或第 列)得到的矩阵,记为 ,即 (第二种 初等阵) (第三种 初等阵) 定理1 (初等变换和初等矩阵的关系) 设 是一个 矩阵,对 施行一次初等行变换,相当于在 矩阵 的左边乘以相应的 阶矩阵;对 施行一次初等列 变换,相当于在矩阵 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,即 (左边乘) 右边乘 例如令 其结果相当于矩阵 进行一次第一种初等行变换 -交换矩阵的第 两行 证明(2) 例如令 相当于对 进行一次第二种初等行变换(将第2行乘以K) 证明3 例如令 相当于对矩阵 进行一次第三种初等行变换,即将第2 行乘以K加到第1行 以 右乘矩阵 ,其结果相当于把 的第 列乘 加到第 列上 令 定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次 初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶 初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 二、利用初等变换求逆矩阵 初等变换初等矩阵 初等逆变换初等逆矩阵 矩阵 总可经过初等变换化为标准形 其中 为行阶梯形矩阵中的行数 该结论可以叙述为 定理2 对于任一 矩阵 ,一定存在有限个 阶初 等矩阵 和 阶初等方阵 使得 定理3 对于 阶可逆矩阵 ,一定存在有限个 阶初等 矩阵 ,使得 定理4 设 为可逆方阵,则存在有限个初等矩阵 使 推论 矩阵 与 等价的充要条件是存在 阶 可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ,使 利用初等行变换求逆矩阵的方法： 若 为可逆矩阵 则存在初等矩阵 使 两端乘以 得 解 例 即 初等行变换 利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可以用于解矩阵方 程 .显然 例 解 列变换 如果要解YA=C,则可以对矩阵 作初等变换, 列变换 解 例3 三、小结 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: