高中数学 特征值与特征向量教学案 苏教版选修4-2

特征值与特征向量1设矩阵A，对于实数，若存在一个非零向量使A，则称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量2设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则有：(1)k(k0)也是矩阵A的属于特征值的特征向量(2)Ann(nN*)3多项式f()称为矩阵A的特征多项式，方程f()0称为矩阵A的特征方程4.给定矩阵A，求A的特征向量和特征值一般步骤为：(1)首先求出特征方程f()0的两个根1、2即为矩阵A的特征值(2)分别将1、2代入齐次线性方程组分别求出与之相应的两组非零解1、2即为相应的特征向量特征值、特征向量的概念例1给定矩阵M，N及向量e1，e2.求证：(1)M和N互为逆矩阵；(2)e1和e2都是M的特征向量思路点拨(1)只需证明MNNME即可；(2)只需证明Me1e1，Me2e2即可精解详析(1)因为MN ，NM ，所以M和N互为逆矩阵(2)向量e1 在M的作用下，其象与其保持共线，即 ，向量e2在M的作用下，其象与其保持共线，即 ，所以e1和e2都是M的特征向量1设A是可逆的二阶矩阵，求证：若是A的特征值，则是A1的特征值证明：A，A1(A)A1()，A1()(A1)，A1.是A1的特征值2若向量是矩阵的一个特征向量，求m的值解：由题意知是齐次方程组的一组解，即解之得故m的值为12.特征值和特征向量的求法例2求矩阵A的特征值与相应特征值的一个特征向量思路点拨先求特征多项式，令特征多项式为0求出特征值，再求相应特征向量精解详析矩阵A的特征多项式为221.令210，解得矩阵A的特征值为11，21.当11时，代入齐次线性方程组得即3xy0，令x1，则y.所以X1是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量当21时，代入齐次线性方程组得即xy0，令x3，则y.所以X2是矩阵A的属于特征值21的一个特征向量已知矩阵A，求它的特征值和特征向量可以分成以下两步：(1)求出矩阵A的特征多项式等于零的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值(2)对于每个特征值0，解齐次线性方程组，其所有非零解就是属于0的特征向量3已知矩阵A，求A的特征值及其对应的所有特征向量解：由f(x)(3)(2)2025140得矩阵A的特征值为17，22.当17时，由方程组得1.故矩阵A属于特征值7的所有特征向量为(k0)当x22时，由方程组得2.故矩阵A属于特征值2的所有特征向量为(k0)4矩阵A的特征值为1,2，求m，n的值解：f()(3)(n)2m2(3n)3n2m，据题意可知方程(关于的)2(3n)3n2m0的两个根为1,2；由特征值和特征向量求矩阵例3已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A.思路点拨利用矩阵，特征向量及特征值满足的关系式构建方程组，通过解方程组求得矩阵的所有元素即可精解详析设A，由题意知 ， ，即解得A.解此类问题可利用待定系数法，首先设出待求矩阵的元素，再利用矩阵A、特征向量及特征值间满足A构建方程组，最后通过解方程组求出矩阵的所有元素5已知矩阵A有特征值18及对应的特征向量1，并有特征值22及对应的特征向量2，试确定矩阵A.解：不妨设矩阵A，a，b，c，d均为实数由题意则有 8及 2，即解得即矩阵A.6给定的矩阵A，B.(1)求A的特征值1，2及对应的特征向量1，2；(2)求A4B.解：(1)设A的一个特征值为，由题意知0，即(2)(3)0，12，23.当12时，由 2，得A属于特征值2的特征向量1；当23时，由 3，得A属于特征值3的特征向量2.(2)由于B12，故A4BA4(12)241342161812.1已知矩阵M的一个特征值为3，求其另一个特征值解：矩阵M的特征多项式为f()(1)(x)4.由特征值为3，可解得x1.因为(1)(1)40，得21.所以矩阵M的另一个特征值为1.2设二阶矩阵M，其中m，n是实数且向量是矩阵M的属于特征值1的一个特征向量，试找出适合条件的一个矩阵M.解：由题意知 ，故.2mn1，取m0，n1，则M为适合条件的一个矩阵3已知矩阵M，向量，求M4.解：矩阵M的特征值满足方程(8)(3)5(6)2560，解得矩阵M的两个特征值12，23.分别将12，23代入方程组 ，可求得它们对应的特征向量分别可取为1，2.显然1，2不共线，又因为2122，因此，M4M4(122)M412(M42)12224234.4对任意实数x，矩阵总存在特征向量，求m的取值范围解：由题意知，对任意实数x，矩阵总存在特征向量，设为矩阵的一个特征值，则f()(x)(3)(2m)(m3)令f()0，由题意知(x)(3)(2m)(m3)0对任意实数x恒成立，(3x)212x4(m2)(3m)0恒成立，即(x3)24(m2)(3m)0恒成立由x的任意性可知4(m2)(3m)0恒成立，2m3.5已知二阶矩阵M有两个特征值：18，22，其中1对应的一个特征向量e1，2对应的一个特征向量e2，求M.解：设M，则 8，且 2.且a6，b2，c4，d4.M.6已知矩阵M，向量，.(1)求向量23在矩阵M表示的变换作用下的象；(2)试问向量是矩阵M的特征向量吗？为什么？解：(1)因为2323，所以M(23) ，所以向量23在矩阵 M表示的变换作用下的象为.(2)向量不是矩阵M的特征向量理由如下：M ，向量与向量不共线，所以向量不是矩阵M的特征向量7已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90.(1)求矩阵A及A的逆矩阵B；(2)已知矩阵M，求M的特征值和特征向量；(3)若在矩阵B的作用下变换为，求M4.解：(1)A .BA1.(2)设M的特征值为，则由条件，得0，即(3)(4)62760.解得11，26.当11时，由 ，得M属于1的特征向量为1；当26时，由 6，得M属于6的特征向量为2.(3)由B，得 ，设m1n2mn，则由解得所以122.所以M4M4(122)M412M42264.8已知矩阵A的特征多项式为f()2.(1)求a，d的值；(2)若，且A，求的值解：(1)由题意，得f()(a)(