[理学]线性代数课件2-1矩阵的定义与运算.ppt

* * 1 矩阵的定义与运算 目的要求目的要求 （1 1）理解矩阵的定义；）理解矩阵的定义； （2 2）掌握矩阵的基本运算及性质）掌握矩阵的基本运算及性质. . * * 一、矩阵概念的引入 1. 线性方程组 的解取决于 系数系数 常数项常数项 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 * * 2. 某航空公司在A,B,C,D四城 市之间开辟了若干航线 ,如图 所示表示了四城市间的航班图 ,如果从A到B有航班,则用带箭 头的线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 把表中的 改成1, 空白地方填上0,就 得到一个数表: * * 二、矩阵的定义 由 个数 称为 矩阵.简称 矩阵.记作 排成的 m行n列的数表 * * 简记为 这个数叫做矩阵A的元素，简称为元元 . 表示第i行第j列的元素，称为（i，j）元. 一对圆括弧一对圆括弧 * * 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 默认为实矩阵默认为实矩阵 * * 三、几种特殊矩阵 例如是一个3 阶方阵. (2)只有一行的矩阵 行矩阵行矩阵(或行向量行向量). (1)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵方阵.也可记作 称为 只有一列的矩阵称为列矩阵列矩阵(或列向量列向量). * * （3）形如 的方阵,称为 不全为0 对角矩阵对角矩阵(或对角阵对角阵）. （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 注意不同阶数的零矩阵是不相等的. 记作 零矩阵记作或 * * 例如 (5)方阵 称为单位矩阵单位矩阵（或单位阵单位阵）. 全为1 * * 四、同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且 则称矩阵 相等,记作 例如为同型矩阵. 同型矩阵同型矩阵. . 对应元素相等,即 * * 五、线性变换 关系式 的线性变换. 表示一个由变量到变量 系数矩阵系数矩阵 * * 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 线性变换 称之为恒等变换恒等变换. 单位阵单位阵. 对应对应 * * 线性变换 对应 这是一个以原点为中心 旋转角的旋转变换. * * 六、矩阵的线性运算 、定义 （一）、矩阵的加法 设有两个 矩阵 那末矩阵 A与B 的和记作A+B ，规定为 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算 . 例1 * * 2、 矩阵加法的运算规律 称为称为A A的负矩阵的负矩阵. . * * （二）、数与矩阵相乘 1、定义 若 求：（1）；（2）；（3） 例2 * * 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算线性运算. （设 为 矩阵， 为数） * * 七、矩阵与矩阵相乘 、定义 称C为A与B的乘积. 设 , 规定 , 其中 * * 例3 ，求 解： * * 注意注意 只有当第一个矩阵的第一个矩阵的列数列数等于第二个矩阵等于第二个矩阵 的的行数行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. * * 例4 说明说明1 1：一般来说， 即矩阵乘法无交换律. 或 满足，未必有 说明说明2 2：若矩阵 . * * 例5 说明说明3 3： * * 例6 对角元乘相应行；对角元乘相应行； 对角元乘相应列对角元乘相应列. . * * 例7 已知线性方程组 于是 那么上述线性方程组可记成 * * 、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 * * 矩阵乘法的应用-生产成本 某工厂生产三种产品某工厂生产三种产品. . 每种产品的原料费、工资支付每种产品的原料费、工资支付 每季度生产每种产品的数量见表每季度生产每种产品的数量见表2. 2.、管理费等见表、管理费等见表1. 1. * * （1 1）每一季度中每一类成本的数量；）每一季度中每一类成本的数量； （2 2）每一季度三类成本的总数量；）每一季度三类成本的总数量； （3 3）四个季度每类成本的总数量）四个季度每类成本的总数量. . 该公司希望在股东会议上用一个表格展示出该公司希望在股东会议上用一个表格展示出 * * 解解我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中 的每一个均可表示为一个矩阵. * * 的第一列表示夏季生产三种产品的总成本的第一列表示夏季生产三种产品的总成本 的第二列表示秋季生产三种产品的总成本的第二列表示秋季生产三种产品的总成本 的第三列表示冬季生产三种产品的总成本的第三列表示冬季生产三种产品的总成本 的第四列表示春季生产三种产品的总成本的第四列表示春季生产三种产品的总成本 计算计算得：得： * * 的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本 的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本 的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本 * * 每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到 每一季度的总成本可由每一列相加得到每一季度的总成本可由每一列相加得到 表表3 3汇总了总成本汇总了总成本 * * 八、转置矩阵 将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A的转置矩阵, 记为 性质 * * 证明：证明： * * 例9 解法1 解法2 * * 对称阵 矩阵 A 称为对称矩阵，如果 AT = A . 是对称矩阵的充要条件是 容易知道, 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 说明 * * 九、方阵的行列式 由n阶矩阵A的元素（按原来的位置）构成 或 的行列式，称为方阵 A 的行列式,记作 例10 3阶方阵，求 . 性质 * * 十、方阵的伴随矩阵 设 A 是 n 阶矩阵，由行列式 |A| 的各元素的 称为矩阵A的伴随矩阵伴随矩阵. 代数余子式 Aij 所构成的矩阵 性质 证明则 故 * * 例11 求 伴随矩阵. 伴随矩阵. 例12 求 * * 思考题 1、矩阵与行列式的有何区别? 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可