[理学]3第二章平稳随机过程.ppt

第二章：平稳随机过程 v严平稳过程的定义 v宽平稳过程的定义 v平稳过程的数字特征 v平稳过程自相关函数的性质 v时间平均和集合平均的概念 v平稳过程遍历性定义 v遍历性判定定理 v遍历性应用举例 平稳随机过程是一类应用广泛的随机 过程，在稳定系统中出现的随机过程都属 于平稳随机过程。 例如：纺织过程中棉纱横截面积的变 化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声 ； 这些随机现象的特点是：统计特性不 随时间的推移而变化。 严平稳过程的定义 设X(t),tT是随机过程，如果对任 意常数和正整数n， t1,t2, ,tnT， t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), , X(tn)与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相 同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳 过程或狭义平稳过程。 严平稳过程的统计特征是由有限维分 布函数决定的，在实际应用中难以确定。 当产生随机现象的一切主要条件可以 视为不随时间的推移而改变时,这类过程 可以看作为平稳的. 例如: 电子管中散弹效应引起的电路 中的噪声电压;通信,自动控制等领域的许多 过程都可以认为是平稳随机过程。 均值 mX(t)=EX(t); 均方值 X(t)=EX2(t)； 方差 DX(t)=EX2(t)-E(X(t)2 =X(t)-mX2(t); 自相关函数 RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)； 协方差函数 Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2) 平稳过程的数字特征 对于平稳随机过程X(t)的一维分布 F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令 =-t1，则 F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1) (1 )因此平稳随机过程的一维分布函数与时间无 关，其在任何时刻的统计规律相等。 (2)若随机过程X(t)平稳过程，则其均值、均方值 和方差均为常数。 (3) 对于平稳随机过程X(t)的二维分布 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令=-t1 ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= ， 则则： F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;) (4)平稳过程的自相关函数是时间的单变量函 数。 同理，协方差函数是时间的单变量函数 宽平稳过程的定义 设X(t),tT是随机过程，如果 1.X(t),tT是二阶矩过程； 2.对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数； 3.对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s- t)则称X(t),tT为广义平稳过程或宽平稳 过程。 严平稳过程和宽平稳过程的关系 （1）宽平稳过程不一定是严平稳过程 （2）严平稳过程只有当二阶矩存在时 为宽平稳过程 （3）但是对于正态过程，其分布由均 值和自相关函数完全确定，二者是等价的 。 例题1： 设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和 X(t)=tY的平稳性。 例题2： 设Xt，t=0, 1, 2, 是实的互不相关 随机变量序列，且EXt=0,DXt=2。 试讨论试讨论 随机序列X(t)=Xt的平稳稳性。 例题3： 设S(t)是一周期为T的函数， 在(0,T)上 均匀分布，称X(t)=S(t+)为随机相位周 期过程，讨论其平稳性。 例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且 PX(t)=+I = PX(t)= -I=1/2，而正负 号在( t, t+ )的变化次数N(t,t+)是随 机的，且事件AK=N(t,t+)=k的概率为 试讨论X(t)的平稳性。 联合平稳过程 设X(t),tT和Y(t),tT是两个平稳过 程，若它们的互相关函数 和 仅与有关，而与t无 关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过 程。 当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平 稳时，则它们的和也是平稳过程。 设x(t),tT为平稳过程，则其相关函数具 有下列性质： （1） （2） （3） 平稳过程自相关函数的性质 (4) 若X(t)是周期为T的周期函数，即 X(t)=X(t+T)，则RX()=RX(+T)； (5) 若X(t)是不含周期分量的非周期过程， 当|时，X(t)与X(t+)相互独立，则 平稳过程自相关函数的性质 已知平稳随机过程的自相关函数为: 求其均值和方差. 习题: 随机分析 在普通函数的微积分中，连续、导数 和积分的概念是建立在极限概念的基础上 。 对于随机过程，随机过程的连续性、导 数和积分的等概念都是建立在随机序列极 限的基础上。这部分内容称为随机分析。 处处收敛 对于概率空间(,F,P)上的随机序列 Xn每个试验结果e都对应一序列，如果该 序列对每个e都收敛，则称随机序列Xn处 处收敛，即满足 其中，x为随机变量。 以概率1收敛 二阶矩随机序列Xn(e),二阶矩随机变量X(e),若 称Xn(e)以概率1收敛于随机变量X ，或称 Xn(e)几乎处处收敛于X(e)，记作 依概率收敛 若对于任给0，有 称二阶矩随机序列Xn依概率收敛于二阶矩 随机变量X，记作: (probability收敛) 设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变 量X，若有 成立，则称Xn均方收敛于X，记作: (Mean-square收敛) 均方收敛 二阶随机序列Xn相应的分布函数为Fn(x)， 二阶矩随机变量X对应的分布函数为F(x).若对F(x) 的每一个连续点处，有 记作 称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶 矩随机变量X，(Distribution 收敛) 依分布收敛 收敛性概念 （1）以概率1收敛 （2）依概率收敛 （3）均方收敛 （4）依分布收敛 a.em.s P d 不收敛 (1)若 ,则 证： 举例: (2)若 ,则 证： 举例: 均方连续 定义6.6 设有二阶矩过程X(t),tT，若对每一个 tT，有 则称X(t)在t点均方连续，记作 若T中一切点都均方连续，则称Xt在T 上均方连续。 均方导数 定义6.7 设X(t),tT为二阶矩过程，若存在另一 个随机过程X(t)，满足 则称X(t)在t点均方可微，记作 并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。 均方积分 定义6.8 设X(t),tT为二阶矩过程，f(t)为普通 函数，其中T=a,b，如果当n0时， Sn均方收敛于S，即 则称f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，记 作 定理6.8 设f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，则有 1. 2. 结论：数学期望和积分可以交换秩序 。 定理6.9 设X(t),tT为二阶矩过程在区间a,b上均方连 续，则 在均方意义下存在，且随机过程Y(t), tT在区 间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。 时间平均和集合平均概念 集合平均 mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值 的统计平均。 时间平均 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随 样本不同而不同，是个随机变量。 时间平均集合平均 大数定理 设独立同分布的随机变量序列Xn,n=1,2, ，具 有EXn=m,DXn=2,(n=1,2, )，则 随时间n的无限增长，随机过程的样本函数 按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的 统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长 ，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各 种可能的状态。 例题： 随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常 数，为(0,2)上均匀分布的随机变量 ，试分析X(t)集合平均和时间平均值、 相关函数和时间相关函数。 定义6.10 设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若 以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有 各态历经性。若 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数 具有各态历经性。 定义6.11 如果均方连续的平稳过程X(t),tT 的均值和相关函数都具有各态历经性， 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍 历性。 定理6.10 设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它 的均值具有各态历经性的充要条件为 证明见课本 定理6.11 设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则其 相关函数具有各态历经性的充要条件为 其中 证明见课本 要严格验证平稳过程是否满足各态历 经性是比较困难的,但是各态历经性定理的 条件较宽,工程中所遇到的平稳过程大多数 都能满足. 在实际应用中,只考虑 上的均 方连续的平稳过程,此时: 各态历经定理的意义： 一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可 用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集 合平均，即