高中数学 章末小结教学案 苏教版选修4-2

章末小结知识整合与阶段检测 对应学生用书P47考情分析矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法真题体验1(福建高考)设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵解：(1)设曲线2x22xyy21上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P(x，y)，则 得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2 ，所以|A2|1，(A2)1.2(江苏高考)已知矩阵A，向量.求向量，使得A2.解：A2 .设.由A2，得 ，从而解得x1，y2，所以. 求矩阵、逆矩阵掌握矩阵、逆矩阵的概念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一次方程组例1求矩阵A的逆矩阵解设A1，根据可逆矩阵的定义，则 ，即，根据矩阵相等得以及解得a5，b3，c2，d1，所以A1.例2设矩阵A，X，B，试解方程AXB.解由于A，而det(A)221310，系数矩阵A可逆，此时方程组有唯一解，而A1，所以XA1B .即求曲线在平面变换下的方程掌握平面变换与对应矩阵之间的相互转化关系，理解矩阵乘法与复合变换之间的关系例3二阶矩阵M1和M2对应的变换对正方形区域的作用结果如下图(1)分别写出一个满足条件的矩阵M1和M2；(2)根据(1)的结果，令MM2M1，求直线xy10在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程解(1)观察图形可知，M1对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为原来的的伸缩变换，M2对应的变换为逆时针方向旋转的旋转变换，故M1，M2.(2)M ，设直线xy10上任意一点P(x0，y0)在矩阵M对应的变换作用下的对应点P(x，y)，则 ，因x0y010，y2x10.故所求曲线方程为2xy10.例4设矩阵M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值解：(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.又M，所以 ，所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵M1.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则 ，即又点P(x，y)在曲线C上，所以y21，则b2y21为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以特征值与特征向量理解特征值、特征向量的概念，会求一个二阶矩阵的特征多项式，特征值及每个特征值对应的一个特征向量；能够计算多次变换的结果；应用二阶矩阵的特征值、特征向量求解实际问题例5(江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值解：A1AE，A(A1)1.A1，A(A1)1.矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得矩阵A的特征值11，24.例6给定矩阵M，向量.(1)求M的特征值及对应的特征向量e1，e2；(2)确定实数m，n使向量可表示为me1ne2；(3)利用(2)中表达式间接计算M2008.解(1)特征多项式f()(1)24，令f()0，得13，21.M的特征值13对应的特征向量e1，特征值21对应的特征向量e2，(2)因为me1ne2，所以mn，即m4，n3，(3)M2008M2008(4e13e2)4(M2008e1)3(M2008e2)4(e1)3(e2)4320083(1)20