高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3_3 指数函数学案 北师大版必修1

3.3 指数函数核心必知1指数函数的定义函数yax(a0且a1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2指数函数yax(a0，a1，xR)的图像和性质(1)指数函数yax(a0，a1)的图像和性质，如下表所示yaxa10a1图像性质定义域R值域(0，)定点恒过(0,1)点，即x0时，y1函数值的变化x0时，y1；x0时，0y1x0时，0y1；x0时，y1；单调性是R上的增函数是R上的减函数非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(2)函数yax与函数yx(a0且a1)图像关于y轴对称问题思考1对于指数函数yax，为什么要规定底数a0且a1?提示：如果a0，如果a0，如y(4)x，当x、等时，在实数范围内函数值不存在如果a1，y1x1，是一个常量，对它就没有研究的必要为了避免上述各种情况，所以规定a0且a1.2在同一直角坐标系中画出y3x，y2x，yx，yx的图像，指出它们的相对位置与底数大小有何关系？提示：借助图像可得如下结论：(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小(2)在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大3函数y3x的图像关于y轴对称图像对应的函数是什么？与偶函数图像对称有什么区别？提示：是y3xx；这是两个函数图像关于y轴对称，而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y轴对称讲一讲1画出函数y|x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间尝试解答y|x|在平面直角坐标系内画出函数yx(x0)及y2x(x0)的图像这两段图像合起来就是所求函数的图像，如图由图像可知所求函数的值域是(0,1，递增区间是(，0，递减区间是0，)与指数函数有关的指数型函数的图像，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像，然后利用图像直观地研究其性质练一练1已知函数y|x1|.(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像；(2)由图像指出该函数的单调区间；(3)由图像指出当x取何值时，函数有最值解：(1)y|x1|其图像由两部分组成：yx(x0)yx1(x1)；y3x(x0)y3x1(x1)图像如图：(2)由图像知函数在(，1上是增函数，在(1，)上是减函数(3)由图像知当x1时，函数有最大值1，无最小值讲一讲2试比较下列各组数的大小：(1)1.12.5与1.13；(2)0.80.1与0.80.2；(3)a0.3与a0.4(a0且a1)；(4)0.80.3与4.90.1.尝试解答(1)考查指数函数y1.1x，由于底数1.11，所以函数y1.1x在R上是增函数2.53，1.12.51.13.(2)考查函数y0.8x，由于底数0.81，所以函数y0.8x在R上是减函数0.10.2，0.80.10.80.2.(3)当a1时，函数yax在R上是增函数0.30.4，a0.3a0.4.当0a1时，函数yax在R上是减函数，a0.3a0.4.(4) 0.80.30.801,4.90.14.901，0.80.34.90.1.对于指数幂的大小比较，一般规律为：(1)同底数指数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小(2)同指数不同底数的指数幂：在同一坐标中作出不同底数的函数的图像，利用图像比较大小(3)既不同底数，又不同指数指数幂：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较，如本讲(4)练一练2比较下列各组数的大小(1)0.80.5与0.4；(2)40.9,80.48，1.5；(3)0.62与；(4)0.30.4与0.40.3.解：(1)0.40.40.80.4，函数y0.8x在定义域R上是减函数，又0.50.4，0.80.50.80.4，即0.80.521.521.44，即40.91.580.48.(3)0.620.601，.(4)当指数相同且大于0时，底数越大图像越高，0.30.30.40.3，又0.30.40.30.3，0.30.40，且a1)的图像可能是()解析：选C法一(图像变换法)当0a0且a1)必过点(1,0)，故只有C项符合3已知ab，则a、b的大小关系是()A1ab0BabCab D1ba0解析：选B考查指数函数yx，底数1，yx在R上是减函数ab，ab.4函数yax在0,1上的最大值与最小值之和为3，则a_.解析：指数函数是单调函数，函数yax在区间0,1端点上取得最值a0a3，得a2.答案：25若a0，则函数y(1a)x1的图像必过点_解析：a0，a0,1a1，y(1a)x为指数函数，过点(0,1)，将y(1a)x的图像向下平移1个单位，得到函数y(1a)x1的图像，过定点(0,0)答案：(0,0)6设a0，f(x)在R上满足f(x)f(x)，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数解：(1)依题意，对一切xR有f(x)f(x)，即aex.所以0对一切xR成立由此可得a0，即a21.又因为a0，所以a1.(2)证明：设0x1x2，则f(x1)f(x2)由x10，x20，x2x10，得x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0，)上是增函数一、选择题1(山东高考)函数f(x) 的定义域为()A(3,0B(3,1C(，3)(3,0D(，3)(3,1解析：选A由题意得所以3x0.2指数函数ybax在b,2上的最大值与最小值的和为6，则a()A2B3C2或3 D.解析：选Ayb ax为指数函数，b1，则b,21,2由于yax为单调函数，函数在区间1,2的端点处取得最值，aa26，解得a2或a3(舍去)3已知f(x)则f(8)等于()A4 B0C. D2解析：选Cf(8)f(6)f(4)f(2)f(0)f(2)22.4定义运算ab则函数f(x)12x的图像是()解析：选A当x0时，2x1，f(x)2x；当x0时，2x1，f(x)1.二、填空题5函数y的定义域是_解析：82x0，即2x23，又y2x在R上为增函数x3的定义域为(，3答案：(，36已知a0.30.2，b0.20.2，c0.20.3，d1.5，则a，b，c，d由小到大排列的顺序是_解析：0.30.20.301，同理：0.20.21,0.20.31，1.51，考查幂函数yx0.2，可知该函数在(0，)上是增函数0.30.20.20.2；考查指数函数y0.2x，可知该函数在R上是减函数，0.20.20.20.3，综上，0.20.30.20.20.30.21.5，即cbad.答案：cbad7函数f(x)(a0，a1)是(，)上的减函数，则a的取值范围是_解析：当x0时，函数f(x)x33a是减函数；当x0时，函数f(x)ax是减函数，则0a1；且满足033aa0，解得a，所以a的取值范围是.答案：8若0a1，b1，则函数f(x)axb的图像一定不经过第_象限解析：函数f(x)axb的图像可由函数yax的图像向上(b0时)或向下(b0)时，平移|b|个单位得到，0a1，b1，结合图像可知，f(x)axb的图像一定不经过第一象限答案：一三、解答题9已知函数ya2x2ax1(0a1)在区间1,1上的最大值是14，试求a的值解：由ya2x2ax1(0a1)，令tax，x1,1at，yt22t1(t1)22.对称轴为t1.0a11，当t，即x1时，y取最大值ymax114，解得a，a.0a1，a.10已知函数f(x)x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)证明