高中数学 黄金100题系列 第67题 立体几何中的最值问题 理

第67题立体几何中的最值问题非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。I题源探究黄金母题【例1】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】【解析】如下图，设正三角形的边长为x，则.， 三棱锥的体积.令，则，令， ，.【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决. II考场精彩真题回放【例2】【2015新课标2理9】已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设球的半径为R,则AOB面积为,三棱锥 体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的表面积.故选C.【方法点睛】由于三棱锥底面AOB面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成，直线AC与所成角的余弦的最大值是_【答案】【解析】分析：设直线与所成角为设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，作于，翻折过程中，始终与垂直， ，则，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以，所以时，取最大值【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与平行的单位向量和，进而可得直线与所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线与所成角的余弦值的最大值【例4】【2014课标理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为，且, , ，故最长的棱长为6，选B【名师点睛】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了考生的识图能力以及由三视图还原物体的空间想象能力。【例5】【 2014湖南理7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,则,故选B.【例6】【2016高考新课标理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B【名师点睛】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判 断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解【例7】【2016高考浙江理数】如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】【解析】中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在中，.由余弦定理可得，所以.过作直线的垂线，垂足为.设则，即，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积.设，因为，所以.则.（1）当时，有，故.此时，.，因为，所以，函数在上单调递减，故.（2）当时，有，故.此时，.由（1）可知，函数在单调递减，故.综上，四面体的体积的最大值为.【例8】【2015高考福建理18】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且（）若为线段的中点，求证平面；（）求三棱锥体积的最大值；（）若，点在线段上，求的最小值【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】解法一：（I）在中，因为， 为的中点，所以又垂直于圆所在的平面，所以因为，所以平面（II）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为又，所以面积的最大值为又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为（III）在中，所以同理，所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值又因为，所以垂直平分，即为中点从而，亦即的最小值为解法二：（I）、（II）同解法一（III）在中，所以，同理所以，所以在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示当，共线时，取得最小值所以在中，由余弦定理得： 从而所以的最小值为【名师点睛】决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解精彩解读【试题来源】2017课标全国高考卷1理16【母题评析】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是【思路方法】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判 断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解【命题意图】考察空间想象能力及推理论证和计算能力，函数思想和转化思想。【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择填题为主，难度中等偏难.【难点中心】解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径。III理论基础解题原理结合近年来全国各省市的高考中，考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现在解决此类问题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选填题或解答题的形式出现，偏难。【技能方法】解决立体几何中的最值问题常见方法有：1. 建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等。2. 公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短。球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等。如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径。3. 解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如 最小角定理所建立的不等关系等等。4. 展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易。5. 变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法。除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在。V举一反三触类旁通考向1求线段与周长的最值【例1】【2018宝鸡模拟】已知一个几何体的三视图如图所示（）求此几何体的表面积；（）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长【答案】见解析解：（）由三视图知：该几何体是一个圆锥与圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和；则S圆锥侧=（22）（2）=4，S圆柱侧=（22）4=16，S圆柱底=22=4，所以S表面积=4+16+4=4+20；（）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示：则AB=2，所以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2【例2】【2018银川一中模拟】正方体的棱长为1，、分别在线段与上，求的最小值.【答案】1 在矩形中，为中位线，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以.同理可证，而，所以线段就是两异面直线与的共垂线段，且.由异面直线公垂线段的定义可得，故的最小值为1. 故当时，取得最小值1，即的最小值为1.【总结】空间中两点距离的最值，最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数，根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值，可以根据这两个元素之间的关系，借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.【例3】【2018兰州模拟】如图，正方形ABCD、ABEF边长都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若。试求当a为何值时，MN的值最小。【答案】，由余弦定理求得。所以当时，即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的值最小，最小值为【跟踪练习】1.【2018大连模拟】SDCQBAPO在正四棱锥S-ABCD中，SO平面ABCD于O，SO=2，底面边长为，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】B2【2017豫晋冀高三调研考试】某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A. B. C. D.3.【2018徐汇区一模】如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E 为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则PEQ周长的最小值为（）A2 B C D【答案】B【解析】分析：由题意得：PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E 关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得到PEQ周长的最小值解：由题意得：PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点点M时，则MN是PEQ周长的最小值，EM=2，EN=，MEN=135，MN=PEQ周长的最小值为故选：B【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题4.【2018南开区联考】有一个各条棱长均为的正四棱锥，现用一张正方形的包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为（）A（1+）a Ba Ca D（+）a【答案】C又因为 ，解得：故选C【点评】本题体现了空间问题平面化的处理问题方法，考查分析解决问题能力以及问题转化的思想强调的是所需的最小纸张是以PP为对角线的正方形，而非PP为中位线的正方形5.【2017大连金州区校级模拟】棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（）A B C D【答案】D6.【2018银川模拟】正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是 .【答案】【解析】(1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则.【点评】求解几何体表面上的最短距离问题，往往需要将几何体的侧面或表面展开，将问题转化为平面图形中的最值，进而利用平面几何中的相关结论判断并求解最值.考向2求表面积与体积的最值【例1】【2018兰州模拟】如图，已知在中，平面ABC，于E， 于F，当变化时，求三棱锥体积的最大值。【答案】EF是AE在平面PBC上的射影，因为，所以，即平面AEF。在三棱锥中，所以，因为，所以因此，当时，取得最大值为。【例2】【2017届安徽省合肥联考】如图所示，四边形是边长为2的菱形，且，四边形是正方形，平面平面，点分别为边的中点，点是线段上一动点（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值【答案】见解析【解析】分析：（1）连接交于点，易证得平面，又平面，于是，又因为点分别为边的中点，所以，故；（2）在菱形中，于是，由三角形面积公式得，由（1）知平面，于是，要求三棱锥的体积的最大 值，只需求出线段的最大值（2）在菱形中，于是，所以，由（1）知平面，于是，要求三棱锥的体积的最大值，只需求出线段的最大值，又点是线段上一动点，所以线段的最大值为2，此时点与点重合，故三棱锥的体积的最大值为【点评】立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等【例3】【2017冀州市校级模拟】等腰ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点点F在BC边上，且EFAB现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE（）证明EF平面PAE；（）记BE=x，V（x）表示四棱锥PACFE的体积，求V（x）的最值【答案】见解析（）解：PEAE，PEEF，PE平面ABC，即PE为四棱锥PACFE的高由高线CD及EFAB得EFCD，由题意知=而PE=EB=x，当x=6时V（x）max=V（6）=【跟踪练习】1.【2017朝阳区模拟】在正方体ABCDAlB1C1D1中，P是正方体的底面AlB1C1D1 （包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）A1个 B2个 C3个 D无数个【答案】C 【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征，考查考查数形结合思想、化归与转化思想 2.【2017郑州二模】将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A B C D【答案】B 【解析】设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，x=22r，圆柱的体积为V（r）=r2（22r）（0r1），则V（r）=圆柱的最大体积为，此时r=，故选：B【点评】本题主要考查基本不等式在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键3.【2017襄城区校级模拟】我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接收雨水如果某个天池盆的盆口直径为盆底直径的两倍，盆深为h（单位：寸），则该天池盆可测量出平面降雨量的最大值为（单位：寸）（）提示：上、下底面圆的半径分别为R、r，高为h的圆台的体积的计算公式为V=h（R2+r2+Rr）Ah Bh Ch Dh【答案】A 【解析】分析：可设天池盆上底面半径为2r寸，则下底面半径为r，又高为h寸利用圆台的体积公式求出天池盆中水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案解：由题意可设天池盆上底面半径为2r寸，则下底面半径为r，又高为h寸则盆中水的体积为h（4r2+r2+2r2）=（立方寸）则平面降雨量等于（寸）该天池盆可测量出平面降雨量的最大值为寸故选：A4.【2017江西模拟】如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB，DD交于M，N，设BM=x，x（0，1），给出以下命题：四边形MENF为平行四边形；若四边形MENF面积s=f（x），x（0，1），则f（x）有最小值；若四棱锥AMENF的体积V=P（x），x（0，1），则P（x）为常函数；若多面体ABCDMENF的体积V=h（x），x（0，），则h（x）为单调函数；当x=时，四边形MENF为正方形 其中假命题的个数为（）A0 B3 C2 D1【答案】D对于，连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥因为三角形AEF的面积是个常数M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥CMENF的体积V为常数函数，故正确对于，多面体ABCDMENF的体积V=h（x）=VABCDABCD=为常数函数，故错误；对于，当x=时，四边形MENF为正方形正确；故选：D【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高属于中档题5.【2017兰州模拟】求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值为 【答案】V=(当且仅当，即时，取等号 ) 正三棱锥体积最大值为 6.【2017安阳一模】如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为6，C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCDA1B1C1D1外接球的表面积（）A10 B12 C14 D16【答案】D【解析】由题意设AA1=x，AD=y，则AB=3x，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为6，xy3x=6，y=，AB+AD+AA1=4x+3=6，当且仅当2x=，即x=1时，取得最小值，长方体ABCDA1B1C1D1外接球的直径为=，长方体ABCDA1B1C1D1外接球的表面积=14，故选C【点评】本题考查长方体ABCDA1B1C1D1外接球的表面积，考查体积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题7. 【2017福建模拟】已知正三棱柱ABCA1B1C1的顶点A1，B1，C1在同一球面上，且平面ABC经过球心，若此球的表面积为4，则该三棱柱的侧面积的最大值为（）A B C D3【答案】C解：正三棱柱ABCA1B1C1的顶点A1，B1，C1在同一球面上，且平面ABC经过球心，此球的表面积为4，此球半径R=1，如图，设三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的顶点A1，B1，C1所在球面的小圆的半径为r，球心到顶点A1，B1，C1所在球面的小圆的距离为d，则r2+d2=R2=1，该三棱柱的侧面积：S=33=3=该三棱柱的侧面积的最大值为故选：C【点评】本题考查三棱柱、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题8.【2018普陀区一模】用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A258cm2 B414cm2 C416cm2 D418cm2【答案】C【点评】本题考查长方体表面积的求法，考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，是中档题考向3求角的最值【例1】【2015高考四川理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .【答案】【解析】【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小，点M到达Q点时，角最小，从而余弦值最大.【例2】【2018玉溪模拟】已知梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EFBC，AE=x沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF（如图）G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x）（1）当x=2时，求证：BDEG；（2）求f（x）的最大值；（3）当f（x）取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值【答案】见解析（3）由（2）知当f（x）取得最大值时AE=2，故BE=2，结合DHAE得BDH是异面直线AE与BD所成的角在RtBEH中，算出BH=，BDH中，得到，最后利用直角三角形中三角函数的定义，算出，从而得到异面直线AE与BD所成的角的余弦值解：（1）作DHEF，垂足H，连结BH、GH，平面AEFD平面EBCF，平面AEFD平面EBCF=EF，DH平面EBCF，DH平面EBCF，结合EG平面EBCF，得EGDH，EFBC，ABC=90四边形BGHE为正方形，得EGBH又BH、DH平面DBH，且BHDH=H，EG平面DBHBD平面DBH，EGBD（2）AEEF，平面AEFD平面EBCF，平面AEFD平面EBCF=EF，AE平面AEFDAE面EBCF结合DH平面EBCF，得AEDH，四边形AEHD是矩形，得DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥DBCF的高DH=AE=x，又三棱锥DBCF的体积为V=f（x）=当x=2时，f（x）有最大值为（3）由（2）知当f（x）取得最大值时AE=2，故BE=2，结合DHAE，可得BDH是异面直线AE与BD所成的角在RtBEH中，DH平面EBCF，BH平面EBCF，DHBH在RtBDH中，异面直线AE与BD所成的角的余弦值为【点评】本题给出平面折叠问题，求证直线与直线垂直，求体积的最大值并求此时异面直线所成角大小着重考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角大小的求法等知识，属于中档题【例3】【2017秋济宁期末】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面ABC，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，且AB=AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点（1）若D是AA1的中点，求证：BD平面AEF；（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线B1M与平面AEF所成角正弦的最大值【答案】见解析（2）解：以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可知：A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），=（2，0，2），设平面AEF的法向量为，由，得，令z=2，得x=1，y=1，即，设，则=+=+=（2，0，2）+（0，2，1）=（2，2，2）设直线B1M与平面AEF所成角为，则=当时，【跟踪练习】1.【2017上饶县模拟】若一条直线与一个平面成72角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）A72 B90 C108 D180【答案】B从上面的证明可知最小角定理，斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角，其中最大的角为90，由已知中一条直线与一个平面成72角，这条直线 和这个平面内经过斜足的直线所成角的范围是：7290，故选：B【点评】本题考查的知识要点：最小角定理的应用线面的夹角属于基础题型2. 【2017课标3理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在