高中数学 第一章 统计疑难规律方法学案 北师大版必修3

第一章 统计1例析简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法适用于总体中的个体数较少且抽取的样本容量较小时抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回简单随机抽样中用的是不放回抽取下面让我们一同来看如下的例题：例1 判断下面的抽样方法是不是简单随机抽样？(1)从不确定个体数的总体中抽取20个个体作为样本(2)从30瓶果汁中一次性随机抽取3瓶进行质量检查(3)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛(4)从装有编号为136的大小、形状都相同的号签的盒子中逐个不放回地抽出6个号签分析简单随机抽样的定义，抓住以下特点来理解：它要求被抽取的样本所在总体的容量确定且有限；它是从总体中逐个地进行抽取；它是一种不放回抽样；每个个体被抽到的可能性是相同的，是等可能抽样解(1)不是简单随机抽样因为总体的个体数是不确定的，从而不能保证每个个体等可能入样(2)不是简单随机抽样因为简单随机抽样的定义要求的是逐个抽取(3)不是简单随机抽样因为该例是指定个子最高的5名同学参加比赛，每个个体被抽到的可能性是不同的，不是等可能抽样(4)是简单随机抽样因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回地、等可能地进行抽样点评要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的上述四个特点例2 若将例1(2)中的字眼“一次性”改为“逐个”，则该例便为简单随机抽样即从30瓶果汁中逐个随机抽取3瓶进行质量检查请选用合适的抽样方法，写出抽样过程分析简单随机抽样分为两种：抽签法和随机数法当总体容量和样本容量都较小时，可采用抽签法进行抽样解(1)将30瓶果汁进行编号，号码为1,2,3，30；(2)将130这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；(3)将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；(4)从容器中每次抽取一个号签，连续不放回地抽取3次，并记录下上面的编号；(5)所得号码对应的3瓶果汁就是要抽取的样本点评抽签法(也叫抓阄法)是简单随机抽样的一种方法，一个抽样试验是否能用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被“搅拌均匀”本题中，总体中个体数(30)较少，制作号签比较方便，并且容易被“搅拌均匀”，所以可以采用抽签法将例2中的总体容量增大，我们该如何解决呢？比如例3.例3 现在要考察某公司生产的2.5 L的果汁质量是否达标，欲从400瓶果汁中抽取6瓶进行质量检查请选用合适的方法抽样，并写出抽样过程分析当总体容量较大，而样本容量较小时，因制签麻烦，故不宜用抽签法，可采用随机数法解选用随机数法步骤如下：第一步，先将400瓶果汁编号，可以编为001,002，400；第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，比如第6行第1个数，取出072作为抽取的6瓶果汁中的第一个代号(见课本后的附表随机数表)；第三步，继续向右读，每次读取三位，凡不在001400中的数或重复的数跳过去不读，取到末尾时转到下一行从左到右继续读数，如此下去直到得出在001到400之间的6个三位数，分别为072,170,133,199,291,105；第四步，找出与072,170,133,199,291,105对应的果汁作为样本点评当总体中的个体较多，制作号签比较复杂，并且把号签搅拌均匀比较困难时，可以选择使用随机数法，本题将个体编号的位数统一为3位使用随机数法应注意以下两点：(1)随机数法要求对个体编号且每个个体的号码位数必须相同如对100个个体编号时应从00编到99(或者从001编到100)，而不能用1,2，100.可见在总体中的个体进行编号时要视总体中个体的数目而定，但必须保证所编号码的位数一致，不允许出现不同位数的号码(2)选定开始读的数后，读数的方向可左、可右、可上、可下，即任意方向均可读数的方向不同可能导致不同的结果，但这一点不影响样本的公平性和合理性.2系统抽样题型全析在三种随机抽样中，系统抽样是较为重要的一种当总体中的个体数较多时，可将总体分成均匀的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，又称等距抽样在抽样调查中，由于系统抽样简便易行，所以应用普遍下面举例说明系统抽样的常见题型一、系统抽样的选取问题例1某商场想通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，发票上的销售金额组成一个调查样本这种抽取样本的方法是()A抽签法 B随机数法C系统抽样法 D分层抽样分析上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽1550n(nN)号，符合系统抽样的特点答案C点评将总体分成均匀的几部分，按照预先定出的规则在各部分中抽取是系统抽样的常用步骤二、间隔问题例2为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为_分析要抽取n个个体入样，需将N个编号均分成n组(1)若为整数，则抽样间隔为；(2)若不是整数，则先剔除多余个体，再均分成n组，此时抽样间隔为解析根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k40.答案40点评将总体号码平均分组时，应先考虑总体容量N是否能被样本容量n整除三、抽取的个数问题例3为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是()A2 B4 C5 D6分析因为1 25250252，所以应随机剔除2个个体答案A点评(1)用系统抽样法抽取多少个个体就需将总体均分成多少组；(2)当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要剔除个体需要注意的是，即使是被剔除的个体，被抽到的机会和其他个体也是一样的四、综合问题例4一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，9.要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码(即在第k组中抽取的号码的后两位数为x33k的后两位数)(1)当x24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取的10个号码中某个数的后两位数是87，求x的取值范围分析按系统抽样的规则计算求解解(1)所分组为099,100199，900999共10组，从每组中抽一个，第0组取24，则第1组取100(24331)157，依次错位地从每组中取出，所取的号码为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)若抽取的样本为两位数，当k0，取得号码为87时，x87；若抽取的样本为三位数，则87为x33k(k1,2，9)的后两位数如当k5时，x33587，可以求出x22，这样令k取不同的值可以求得x的值分别为：21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.综上：x21,22,23,54,55,56,87,88,89,90点评本题是系统抽样法的逆向综合问题，体现了知识间的联系和数学思想的运用.3辨析分层抽样的解题方法若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本这种抽样方法就是分层抽样分层抽样尽量利用事先掌握的信息，并充分考虑了保持样本结构和总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是很重要的一、应用分层抽样应遵循以下要求：(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，层面之间的样本差异要大，且互不重叠即遵循不重复、不遗漏的原则(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等即所有层应采用同一抽样比等可能抽样(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样二、一般地，分层抽样的操作步骤：第一步，计算样本容量与总体的个体数之比第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按这个比例可以确定各层应抽取的个体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数应当调节样本容量，剔除个体三、分层抽样的优点使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法下面举例解析分层抽样的方法例1某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组(15号，610号，196200号)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是_若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_人解析由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为2000.5100，则应抽取的人数为10020.答案3720点评简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的例2某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A9 B18 C27 D36解析设老年职工人数为x，则2xx160430，所以x90，因此，该单位老年职工共有90人，样本中老年职工人数为9018，所以用分层抽样的比例应抽取该样本中的老年职工人数为18.答案B点评分层抽样要正确计算各层在总体中所占的比例，每层采用简单随机抽样法分层抽样利用了调查者对调查对象事先掌握的各种信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，从而使样本更具代表性，在实际调查中被广泛应用.4浅析3种抽样方法的合理选取一、简单随机宜少量例1 据报道，2009年7月22日的“日全食”较为理想的观测地点有上海、重庆、苏州、杭州、合肥、武汉、宜昌、成都、乐山、嘉兴这10个城市某天文小组从这10个城市中随机抽取4个城市进行观测，宜采用的抽样方法是_，每个城市被选中的可能性是_解析由于总体中个体数目较少，所以宜采用简单随机抽样的方法进行抽样每个城市被选中的可能性均相等，均为0.4.答案简单随机抽样0.4点评本题中个体总数较少，使用简单随机抽样中的抽签法即可可以直接把10个城市名分别写在10个大小相同的纸条上，将纸条放在一个盒子里摇匀，逐个随机抽出4个即可在整个抽样过程中可以保证每个个体被抽到的可能性相等，也可以进一步计算出相应的值二、差别明显选分层例2 网络上有一种“QQ农场”游戏，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程为了解某小区不同年龄层次的居民对此游戏的态度(小区中居民的年龄具有一定的差别)，现从中抽取100人进行调查，结果如下表：对游戏的态度喜欢不喜欢不了解人数353530请问随机抽取这100人较合理的抽样方法是_，调查结果得出后，若想从这100人中再选取20人进行座谈，较合理的抽样方法是_若这个小区共有2 000人，则每个人被抽到参加座谈的可能性为_解析因为小区居民的年龄存在明显差异，故抽取这100人宜采用分层抽样根据调查结果，有三种明显不同的态度，因此，选取20人参加座谈，也宜采用分层抽样在整个抽样过程中，每个人被抽到的可能性是相同的，均为0.01.答案分层抽样分层抽样0.01点评分层抽样的过程是先把有差别的个体进行分层，在每一层中可以采用简单随机抽样或系统抽样的方法，这样也能保证每个个体被抽到的可能性相同三、大量抽取选系统例3 2017年春节来临之际，某超市进行促销活动，为购买商品顾客分发了编号为00009999的奖券，超市计划从中抽取100张作为中奖号码，较合理的抽样方法是_，每张奖券中奖的可能性为_解析由于奖券数量较大，有10 000张奖券，所以宜采用系统抽样方法进行抽取在抽样过程中，每张奖券被抽到的可能性是相等的，均为0.01.答案系统抽样0.01点评当总体中个体数目较多时，首先把个体编号，进行平均分组(若不能整除，则随机剔除多余的个体)，然后采用简单随机抽样的方法从第一组中抽取一个个体，即可知道应抽取的其他编号的个体.5频率分布图中的统计问题分类解析频率分布直方图将数理统计的数据直观化、形象化关于统计一般可分为三步，第一步抽样，第二步根据抽样所得结果，画成图形，第三步根据图形，分析结论在第二步中可画成两种图形，一个是频率分布直方图，另一个是频率分布条形图，两者有很大的不同，前者是以面积表示频率，频率分布条形图是以高度表示频率下面就频率分布图中的统计问题分类解析一、求样本中限制条件下的个体所占频率例1观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在2 700,3 000)的频率为()A0.001B0.1C0.2 D0.3解析由直方图的意义可知，在区间2 700,3 000)内取值的频率为(3 0002 700)0.0010.3.答案D点评频率为相应直方图的面积，即频率纵坐标横坐标差的绝对值二、求样本中限制条件下的个体的频数例2某市高三数学抽样考试中，对90分以上的成绩进行统计，其频率分布条形图如图所示若130140分数段的人数为90，则90100分数段的人数为_解析由于90分以上的考试人数是样本总体，则图中5个分数段的频率之和等于1，设130140分数段的频率为p，则0.450.250.150.10p1，即0.95p1，则p0.05.设该样本总体共有n个学生的分数，且设90100分数段的人数为x，则由频率概念得解得故90100分数段的人数为810.答案810点评本题是频率分布条形图由于各分数段的人数与频率成正比，则可由，求出x；题设条形图的纵坐标是“频率”这是有别于常规的，在审题时不能混淆例3一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2 500,3 000)(元)月收入段应抽出_人解析由直方图可得2 500,3 000)(元)月收入段共有10 0000.000 55002 500(人)，按分层抽样应抽出2 50025(人)答案25点评先求频数，频数频率样本容量，再按比例进行抽样三、求频率分布直方图中的参数问题例4为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图如图由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为()A0.27,78 B0.27,83C2.7,78 D2.7,83解析注意到纵轴表示，由图像可知，前4组的公比为3，最大频率a0.1330.10.27，设后六组公差为d，则0.010.030.090.276d1，解得d0.05，即后四组频率的公差为0.05，所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为(0.270.220.170.12)10078，故选A.答案A点评解答本题关键是要利用直方图中残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在关系.6学习变量的相关关系的注意点一、相关关系不一定是因果关系函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，它仅是一种伴随关系例1 下列各组关系中，不属于相关关系的是()A降雪量与交通事故的发生之间的关系B正方体的体积与棱长之间的关系C日照时间与小麦的亩产量之间的关系D人的身高与体重之间的关系解析选B，正方体的体积与棱长之间的关系是一种确定的函数关系答案B点评本题易错选D.在人的身高与体重之间确实具有相关性，但人有胖瘦，所以，人的身高与体重之间没有因果关系，