高中数学 第一章 解三角形 1_1_1 正弦定理（一）学案 新人教a版必修5

11.1正弦定理(一) 学习目标1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题知识点一正弦定理1正弦定理的表示文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号语言在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则2R2.正弦定理的常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中R为ABC外接圆的半径(2)sin A，sin B，sin C(R为ABC外接圆的半径)(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即abcsin Asin Bsin C.(4).(5)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.3正弦定理的证明(1)在RtABC中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：sin A，sin B，c， (2)在锐角三角形ABC中，设AB边上的高为CD，如图，CDasin_Bbsin_A，同理，作AC边上的高BE，可得，.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，过B作BDAC于D，则BDasin(C)asin_C，BDcsin_A，故有asin Ccsin_A，同理，.思考下列有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角形；正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；在ABC中，sin Asin Bsin CBCACAB.其中正确的个数有()A1 B2 C3 D4答案B解析正弦定理适用于任意三角形，故均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以正确；由正弦定理可知正确故选B.知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角题型一对正弦定理的理解例1在ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是()Aabcsin Asin Bsin CBabsin 2Asin 2BC.D正弦值较大的角所对的边也较大答案B解析在ABC中，由正弦定理得k(k0)，则aksin A，bksin B，cksin C，故abcsin Asin Bsin C，故A正确当A30，B60时，sin 2Asin 2B，此时a b，故B错误根据比例式的性质易得C正确大边对大角，故D正确反思与感悟(1)定理的内容：2R，在运用正弦定理进行判断时，要灵活使用定理的各种变形(2)如果，那么(b，d0)(合比定理)；(b，d0)(分比定理)；(ab，cd)(合分比定理)；可以推广为：如果，那么.跟踪训练1在ABC中，下列关系一定成立的是()Aabsin A Babsin ACabsin A Dabsin A答案D解析在ABC中，B(0，)，sin B(0，1， 1，由正弦定理得absin A.题型二用正弦定理解三角形例2(1)在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形(2)在ABC中，已知c，A45，a2，解这个三角形解(1)A45，C30，B180(AC)105，由得a10.sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，b2055.B105，a10，b55.(2)，sin C，C(0，180)，C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.反思与感悟(1)已知两角与任意一边解三角形的方法首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边跟踪训练2(1)在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D4(2)在ABC中，若a，b2，A30，则C_答案(1)C(2)105或15解析(1)易知A45，由得b4.(2)由正弦定理，得sin B.B(0，180)，B45或135，C1804530105或C1801353015.题型三判断三角形的形状 例3在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断三角形的形状解由已知得，由正弦定理得.sin A、sin B0，sin Acos Asin Bcos B.即sin 2Asin 2B.2A2B或2A2B.AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形反思与感悟(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如等跟踪训练3在ABC中，bsin Bcsin C且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状解由bsin Bcsin C，得b2c2，bc，ABC为等腰三角形，由sin2Asin2Bsin2C得a2b2c2，ABC为直角三角形，ABC为等腰直角三角形1在ABC中，ABc，ACb，BCa，下列等式中总能成立的是()Aasin Absin B Bbsin Ccsin ACabsin Cbcsin B Dasin Ccsin A答案D解析由正弦定理，得asin Ccsin A.2在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，B60，那么A等于()A135 B90 C45 D30答案C解析由得sin A，A45或135.又ab，A0)2正弦定理的应用：已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角3利用正弦定理可以实现三角形