高考数学二轮专题复习 知能专练（三）基本初等函数、函数与方程及函数的应用

知能专练（三） 基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、选择题1(2017惠州调研)已知幂函数yf(x)的图象过点，则log4f(2)的值为()A. BC2 D2解析：选A设f(x)xa，由其图象过点得aa，故log4f(2)log42.2(2017西城模拟)若奇函数f(x)kaxax(a0且a1)在R上是增函数，则g(x)loga(xk)的大致图象是()解析：选C函数f(x)kaxax(a0且a1)在R上是奇函数，f(x)f(x)0，即(k1)ax(k1)ax0，解得k1.又函数f(x)kaxax(a0且a1)在R上是增函数，a1，可得g(x)loga(xk)loga(x1)，函数g(x)的图象必过原点，且为增函数故选C.3若x(e1,1)，aln x，bln x，celn x ，则a，b，c的大小关系为()Acba BbcaCabc Dbac解析：选B依题意得aln x(1,0)，bln x(1,2)，cx(e1,1)，因此bca.4已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2 B3 C4 D5解析：选A法一：当x2时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，其根为x或x(舍去)；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，其根为x或x(舍去)所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.法二：由yf(x)g(x)0得f(x)f(2x)3，设F(x)f(x)f(2x)，则F(2x)f(2x)f(x)，所以F(2x)F(x)，F(x)关于直线x1对称当0x1时，F(x)f(x)f(2x)2x2(2x)2；当x0时，f(x)log2x的值域为R，要想在t(1，)上存在唯一的xR满足f(f(x)2a2t2at，必有f(f(x)1(2a2t2at0)，f(x)2，解得x4，当x4时，x与f(f(x)存在一一对应的关系，2a2t2at1，t(1，)，且a0，(2at1)(at1)0，解得t或t(舍去)，1，a，故选B.6(2017山东高考)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，) B(0,13，)C(0， 2，) D(0， 3，)解析：选B在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当01时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)二、填空题7设函数f(x)ln(x1)，g(x)则g(2)_；函数yg(x)1的零点是_解析：由题意知g(2)f(2)ln 3，当x0时，x210没有零点，当x0时，由ln(x1)10，得x1e.答案：ln 31e8已知函数f(x)若存在x1，x2R，x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，则实数a的取值范围是_解析：由已知存在x1，x2R，x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，则需x1时，f(x)不单调即可，即对称轴1，解得a0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解：(1)g(x)x22e(x0)，当且仅当x时取等号当xe时，g(x)有最小值2e.因此g(x)m有零点，只需m2e.m的取值范围是2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点如图所示，作出函数g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为xe，f(x)maxm1e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，必须有m1e22e，即me22e1.即g(x)f(x)0有两个相异实根，则m的取值范围是(e22e1，)11有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放k(1k4且kR)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(g/L)随着时间x(min)变化的函数关系式近似为ykf(x)，其中y根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效去污的作用(1)若投放k个单位的洗衣液，3 min时水中洗衣液的浓度为4(g/L)，求k的值；(2)若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？解：(1)由题意知，k4，解得k.(2)当k4时，y当0x5时，由44，解得x1，则1x5.当5x16时，由44，解得15x15，50，a1.上式有两根相等，即0a22，此时t，若a2(1)，则有t0，且a 2xaa(t1)a0，