高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3_2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式学案 新人教b版选修4-5

32 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式读教材填要点贝努利(Bernoulli)不等式设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n1nx.小问题大思维在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？提示：可以但是贝努利不等式的体现形式有所变化事实上：当把正整数n改成实数后，将有以下几种情况出现：(1)当是实数，并且满足1或者1)(2)当是实数，并且满足01)利用数学归纳法证明不等式例1求证：1(n2，nN)思路点拨本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，因为n2，nN，因此应验证n02时不等式成立精解详析(1)当n2时，左边1.n2时不等式成立(2)假设nk(k2，且kN)时，不等式成立，即1，那么nk1时， 11，k2，2.k2k1210.0.1.当nk1时，不等式也成立由(1)、(2)可知，对一切的n2，且nN，此不等式都成立利用数学归纳法证明不等式的关键是由nk到nk1的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“，”的放缩变形1证明不等式：12(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，命题成立，即12.当nk1时，左边12 ，现在只需证明2，即证：22k1，两边平方，整理：01，显然成立2成立即1Qn.若x0，则PnQn.若x(1,0)，则P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假设PkQk(k3)，则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即当nk1时，不等式成立所以当n3，且x(1,0)时，PnQn.(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用2已知数列an，bn与函数f(x)，g(x)，xR，满足条件：b1b，anf(bn)g(bn1)(nN)若函数yf(x)为R上的增函数，g(x)f1(x)，b1，f(1)1，证明：对任意nN，an1an.证明：因为g(x)f1(x)，所以ang(bn1)f1(bn1)，即bn1f(an)下面用数学归纳法证明an1an(nN)(1)当n1时，由f(x)为增函数，且f(1)1，得a1f(b1)f(1)1，b2f(a1)f(1)1，a2f(b2)f(1)a1，即a2a1，结论成立(2)假设nk时结论成立，即ak1ak.由f(x)为增函数，得f(ak1)f(ak)，即bk2bk1.进而得f(bk2)f(bk1)，即ak2ak1.这就是说当nk1时，结论也成立根据(1)和(2)可知，对任意的nN，an1对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论思路点拨本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法解答本题需要根据n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明精解详析当n1时，即，a.(1)n1时，已证(2)假设当nk(k1，kN)时，则当nk1时，有.，0，也成立由(1)、(2)可知，对一切nN，都有，a的最大值为25.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时3对于一切正整数n，先猜出使tnn2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n1)lg(123n)解：猜想当t3时，对一切正整数n使3nn2成立下面用数学归纳法进行证明当n1时，313112，命题成立假设nk(k1，kN)时，3kk2成立，则有3kk21.对nk1,3k133k3k23kk22(k21)3k21.(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1(k1)2，对nk1，命题成立由上知，当t3时，对一切nN，命题都成立再用数学归纳法证明：n(n1)lg(123n)当n1时，1(11)0lg 1，命题成立假设nk(k1，kN)时，k(k1)lg(123k)成立当nk1时，(k1)(k2)k(k1)2(k1)lg(123k)lg 3k1lg(123k)lg(k1)2lg123k(k1)命题成立由上可知，对一切正整数n，命题成立对应学生用书P45 一、选择题1对于一切正整数n，下列说法不正确的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n1)，当x2时，(12)n12n，故A正确当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确当x0.9时，(10.9)n10.9n，D正确答案：C2在用数学归纳法证明f(n)1(nN，n3)的过程中：假设当nk(kN，k3)时，不等式f(k)1成立，则需证当nk1时，f(k1)1也成立若f(k1)f(k)g(k)，则g(k)()A BC D解析：f(k1)，f(k)，f(k1)f(k)，g(k).故选B.答案：B3用数学归纳法证明“n1(nN)”的过程中的第二步nk1时(n1已验，nk已假设成立)，这样证明：(k1)1，当nk1时，命题成立，此种证法()A是正确的B归纳假设写法不正确C从k到k1推理不严密D从k到k1的推理过程未使用归纳假设解析：在上面的证明中，当nk1时证明过程没有错误，但没有用到当nk时的结论，这样就失去假设当nk时命题成立的意义，也不能构成一个递推关系，这不是数学归纳法A、B、C都不对，选D.答案：D4利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项解析：根据题意可知：1，所以共增加2k项答案：D二、填空题5证明11)，当n2时，要证明的式子为_解析：当n2时，要证明的式子为213.答案：2136用数学归纳法证明：当nN，12222325n1是31的倍数时，当n1时原式为_，从k到k1时需增添的项是_解析：当n1时，原式为12222325112222324.从k到k1时需增添的项是25k25k125k225k325k4.答案：1222232425k25k125k225k325k47利用数学归纳法证明“”时，n的最小取值n0应为_解析：n01时不成立，n02时，an1，则a0的取值范围是_解析：取n1,2，则a1a013a00，a2a16a00，0a0.答案：三、解答题9用数学归纳法证明：12(n2，nN)证明：(1)当n2时，12，命题成立(2)假设当nk时命题成立，即12，当nk1时，12n2成立，所以归纳猜想2n2n2成立下面用数学归纳法证明：当n1时，左边2124；右边1，左边右边，所以原不等式成立；当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边假设nk时(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2.那么nk1时2k1222k22(2k2)22k22又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k12(k1)2成立根据和可知，2n2n2对于任何nN都成立11已知等比数列an的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和求证：.证明：由已知，得Sn3n1，等价于，即3n2n1.(*)法一：用数学归纳法证明上面不等式成立当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立假设当nk时，(*)成立，即3k2k1，那么当nk1时，3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所