高中数学 第二章 平面解析几何初步 2_3 空间直角坐标系学案 苏教版必修2

2.3 空间直角坐标系学习目标1.掌握空间直角坐标系的建立方法，理解空间直角坐标系中点与坐标的对应关系.2.理解空间中两点间的距离公式，并会用公式解决有关问题.3.了解类比思想，类比平面解析几何知识建立空间直角坐标系，从而使我们进一步认识数学知识之间的紧密联系.知识点一空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间有什么关系？梳理(1)空间直角坐标系及相关概念定义：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了_.相关概念：_叫做坐标原点，_叫做坐标轴，这_确定一个坐标平面，分别称为_平面、_平面、_平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_的正方向，食指指向_的正方向，若中指指向_的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点的坐标对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组_叫做点A的坐标(如图)，记为_.知识点二空间两点间的距离公式思考如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？梳理(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离OP.(2)一般地，空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2.知识点三空间中中点的坐标公式思考平面上，过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标是什么？梳理已知空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点M的坐标是_.类型一确定空间中点的坐标例1已知正四棱锥PABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.引申探究若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.充分利用几何图形的对称性.(2)求某点M的坐标的方法作MM垂直于平面xOy，垂足为M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求点M在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0).yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z).xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z).(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0).y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0).z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是D1D、BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD，点H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出点E、F、G、H的坐标.类型二求对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，已知点P(2,1,4).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)对称的点的坐标.反思与感悟类比平面直角坐标系中，点的对称性可归纳在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点的坐标(1)关于原点的对称点是P1(x，y，z).(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，y，z).(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(x，y，z).(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4(x，y，z).(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，z).(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6(x，y，z).(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7(x，y，z).跟踪训练2写出点P(1,2,3)关于y轴，z轴，yOz平面，xOz平面的对称点的坐标.类型三空间中两点间的距离例3已知ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5).(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度.反思与感悟(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.跟踪训练3如果点P在z轴上，且满足PO1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是_.1.点P(1,0,4)的位置是_.(填序号)在y轴上；在xOy平面内；在xOz平面内；在yOz平面内.2.点P(1,2，1)在yOz平面内的垂足为B(x，y，z)，则xyz_.3.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为_.4.已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)，则AB的最小值为_.5.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_.1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.答案精析问题导学知识点一思考1三个思考2空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直梳理(1)空间直角坐标系Oxyz点Ox轴、y轴和z轴三条坐标轴中每两条xOyyOzzOx(2)x轴y轴z轴(3)(x，y，z)A(x，y，z)知识点二思考.知识点三思考M.梳理(，)题型探究例1解因为PO12，所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A，B，C，D.引申探究解各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5，0,0)，B(0,5,0)，C(5,0,0)，D(0，5,0)跟踪训练1解建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，它的横坐标x、纵坐标y均为0，而点E为DD1的中点，故E点坐标为(0,0，)过点F作FMAD、FNDC，由平面几何知识，得FM，FN，故F点坐标为(，0)点G在y轴上，其横坐标x、竖坐标z均为0，又GD，故G点坐标为(0，0)过H作HKCG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，故H点坐标为(0，)例2解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(2，1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3的坐标为(6，3，12)跟踪训练2解(1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(1,2，3)(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(1，2,3)(3)点P关于yOz平面的对称点坐标为P3(1,2,3)(4)点P关于xOz平面的对称点坐标为P4(1，2,3)例3解(1)由空间两点间的距离公式，得AB3，BC，AC，ABC中最短边是BC，其长度为.(2)由中点坐标公