高中数学 第二章 平面解析几何初步 习题课 圆的方程的应用学案 苏教版必修2

习题课 圆的方程的应用学习目标1.体会数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中的应用.2.掌握直线与圆的方程的实际应用.3.了解圆系的方程.知识点一与圆有关的最值问题1.与圆上的点(x，y)有关的最值常见的有以下几种类型：(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.2.与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心，圆外一点A到圆上距离的最小值为AOr，最大值为AOr.(2)过圆内一点的最长的弦为圆的直径，最短的弦为以该点为中点的弦.(3)记圆心到直线的距离为d，若直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr.(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.知识点二直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程知识点三圆系方程两圆相交(相切)有两个(一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆具有某些共同的性质，我们把这些圆的集合称为圆系.常见的圆系方程有以下几种：(1)以(a，b)为圆心的同心圆系方程为(xa)2(yb)2k2 (k0).(2)与圆x2y2DxEyF0同圆心的圆系方程为x2y2DxEyK0.(3)过定点(a，b)的圆系方程为(xa)2(yb)21(xa)2(yb)0.(4)过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0的交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0.(5)过两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1，其中不含圆C2).当1时，l：(D1D2)x(E1E2)yF1F20，当两圆相交时，l为两圆的公共弦所在直线的方程；当两圆相切时，l为过两圆切点的直线方程.类型一与圆有关的最值问题命题角度1求目标函数的最值例1已知实数x，y满足方程(x2)2y23.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.跟踪训练1已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任一点.(1)求的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值.命题角度2与面积有关的最值例2点P是直线2xy100上的动点，PA，PB与圆x2y24分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为_.反思与感悟求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题.跟踪训练2已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为_.类型二直线与圆的方程的实际应用例3设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为31，问：甲、乙两人在何处相遇？反思与感悟坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.跟踪训练3为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O向正东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B，从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.类型三过交点的圆系方程例4求过直线x3y70与圆x2y22x2y30的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为8的圆的方程.跟踪训练4对于任意实数，曲线(1)x2(1)y2(64)x1660恒过定点_.1.已知圆C的圆心为点C(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程为_.2.圆(x2)2y25关于y轴对称的圆的方程为_.3.已知实数x，y满足x2y24x2y40，则x2y2的最大值为_.4.圆x2y24x4y70上的动点P到直线yx的最小距离为_.5.已知圆C的方程为(x3)2(y4)21，过直线l：3xay50(a0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为_.1.与圆有关的最值问题(1)求目标函数的最值比如u，laxby，m(xa)2(yb)2的最值，应分别转化为直线的斜率，截距与两点距离平方的最值.(2)与圆的几何性质有关的最值.2.求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)认真审题，明确题意；(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解.答案精析题型探究例1解原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆(1)设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.跟踪训练1解 (1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令k，如图所示，则其最大值、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率将上式整理得kxyk20，1，k.故的最大值是，最小值是.(2)令ux2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得依题意，得1，解得u2，故x2y的最大值是2，最小值是2.例28跟踪训练22例3解如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系设甲向东走到点D转向到点C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为1(a3，b3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有解得所以当乙向北前进3.75 km时，甲、乙两人相遇跟踪训练3解以O为坐标原点，以OB，OC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2y21.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为1，即xy8.当O，D，E三点共线且OEBC时，DE最短，DE的最短距离为1(41)(km)例4解设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2y22x2y3)(x3y7)0，即x2y2(2)x(32)y370.令y0，得x2(2)x370，圆在x轴上的两个截距之和为2.令x0，得y2(32)y370，圆在y轴上的两个截