高中数学 课时跟踪训练（十一）直线间的夹角、平面间的夹角 北师大版选修2-1

课时跟踪训练(十一)直线间的夹角、平面间的夹角1已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则异面直线EF和CD的夹角是()A60B45C30 D902(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.3.如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()A. B.C. D.4P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么与的夹角大小为()A60 B70C80 D905平面1的一个法向量n1(1,2，1)，平面2的一个法向量n2(2，2，2)，则平面1与2夹角的正弦值为_6.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_7.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60.求平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值8.如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值答 案1选B以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，则E，F，(0,1,0)所以cos，所以，135，所以异面直线EF和CD的夹角是45.2选A设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.3.选D设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.4选D设PMa，PNb，作MEAB，NFAB，则因BPMBPN45，故PE，PF .于是()()abcos 60acos 45bcos 450.因为EM，FN分别是，内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是与的夹角5解析：n1n22420，n1n2，n1，n2，即与垂直，sinn1，n21.答案：16解析：不妨设棱长为2，则，cos，0.故AB1与BM的夹角为90.答案：907解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，所以.由AD3可知DE3，AF，则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)所以(0，3，)，(3,0，2)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则n(4,2，)由题意知AC平面BDE，所以为平面BDE的法向量，(3，3,0)所以cosn，.故由题意知平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值为.8解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D的夹角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1的夹角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA