高中数学 第一章 基本初等函数（ⅱ）1_2 任意角的三角函数学案 新人教b版必修4

12.1三角函数的定义预习课本P1417，思考并完成以下问题 (1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？ 1三角函数的定义(1)前提准备：以角的顶点O为坐标原点，以角的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，如图所示设角的终边上任一点P(x，y)，OPr(r0)(2)定义：余弦函数：叫做角的余弦，记作cos ，即cos .正弦函数：叫做角的正弦，记作sin ，即sin .正切函数：叫做角的正切，记作tan ，即tan .正割函数：角的正割sec .余割函数：角的余割csc .余切函数：角的余切cot .点睛三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角的大小有关，即由角的终边位置决定2正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 3三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数()(2)若sin sin ，则.()(3)已知是三角形的内角，则必有sin 0.()答案：(1)(2)(3)2若sin 0，则在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C3已知角的终边与圆x2y21的交点P，则sin cos ()A. BC. D答案：B4sin_，cos_.答案：三角函数的定义及应用典例已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，求sin ，cos ，tan 的值解r 5|a|.若a0，则r5a，故sin ，cos ，tan .若a0，则r5a.同理可得sin ，cos ，tan .利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值法二：在的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)则sin ，cos .已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论活学活用1如果的终边过点P(2sin 30，2cos 30)，那么sin 的值等于()A.BC D解析：选C由题意知P(1，)，所以r 2，所以sin .2已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan ，sec ，csc ，cot 的值解：直线xy0，即yx，则直线通过第二和第四象限在第二象限内取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，则csc ；cos ，则sec 2；tan ，则cot .在第四象限内取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，则csc ；cos ，则sec 2；tan ，则cot .三角函数值符号的运用典例(1)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)设是第三象限角，且cos，则所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析(1)由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限(2)是第三象限角，2k2k，kZ.kk.在第二、四象限又cos ，cos 0.在第二象限答案(1)D(2)B对于已知角，判断的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理活学活用1设ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是()Atan A与cos B Bcos B与sin CCsin C与tan A Dtan与sin C解析：选D0A，0，tan0；又0C，sin C0.2若角是第二象限角，则点P(sin ，cos )在第_象限解析：为第二象限角，sin 0，cos 0.P(sin ，cos )位于第四象限答案：四求三角函数的定义域典例求函数f(x)的定义域解要使f(x)有意义，则所以解得：2kx2k，kZ.所以原函数的定义域为.求三角函数定义域的方法(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集 活学活用 求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解：(1)要使函数式有意义，需tan x0，解得xk(kZ)要使tan x有意义，需xk(kZ)，解得x(kZ)所以函数的定义域为.(2)由题意得由cos x0得x的终边在y轴上，或第一象限，或第四象限，或在x轴非负半轴上由tan x0，得tan x0，则角x的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上综上，角x的终边在第四象限或x轴非负半轴上所以函数的定义域为.层级一学业水平达标1若，则的终边与圆x2y21的交点P的坐标是()A.B.C. D.解析：选B设P(x，y)，角在第二象限，x，y ，P.2若角的终边上一点的坐标为(1，1)，则cos 等于()A1 B1C. D解析：选C角的终边上一点的坐标为(1，1)，它与原点的距离r，cos .3若三角形的两内角，满足sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能解析：选Bsin cos 0，cos 0，则实数a的取值范围是()A(2,3B(2,3)C2,3) D2,3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有即2a3.2设a0，角的终边与圆x2y21的交点为P(3a,4a)，那么sin 2cos 的值等于()A.BC. D解析：选A点P在圆x2y21上，则|OP|1.即1，解得a.a0，a.P点的坐标为.sin ，cos .sin 2cos 2.3若tan x0，且sin xcos x0，则角x的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Dtan x0，角x的终边在第二、四象限，又sin xcos x0，角x的终边在第四象限4已知角的终边经过点P(m，6)，且cos ，则m()A8 B8C4 D4解析：选B由题意r|OP|，故cos ，解得m8.5已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析：|OP|.根据任意角三角函数的定义得， ，解得y8.又sin 0及P(4，y)是角终边上一点，可知为第四象限角，y8.答案：86设02，若sin 0且cos 20，则的取值范围是_解析：因为02且sin 0，所以2.又cos 20，所以2k22k，kZ，所以kk，kZ.因为2，所以k1，即的取值范围是.答案：7求下列函数的定义域：(1)f(x) tan x；(2)f(x).解：(1)由题意得 即解得0x或x4，所以原函数的定义域为.(2)若使函数有意义，则需满足cos x0，即2kx2k，kZ.函数的定义域为，kZ.8已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限(2)若角的终边上一点是M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值解：(1)由，所以sin 0，所以是第四象限角(2)因为|OM|1，所以2m21，得m.又为第四象限角，故m0，从而m，sin .12.2单位圆与三角函数线预习课本P1921，思考并完成以下问题 (1)点的射影是如何定义的？(2)三角函数线是如何定义的？1单位圆把半径为1的圆叫做单位圆2单位圆中角的坐标角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标3点的射影及三角函数线(1)点的射影(2)三角函数线1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线()答案：(1)(2)(3)2已知角的正弦线的长度为单位长度，那么角的终边()A在x轴上B在y轴上C在直线yx上 D在直线yx上答案：B3角(0”或“三角函数线的作法典例作出的正弦线、余弦线和正切线解在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PMx轴，垂足为M，由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin MP，cosOM，tanAT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.三角函数线的作法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线活学活用作出的正弦线、余弦线和正切线解：如图所示，的正弦线为，余弦线为，正切线为.三角函数线的应用题点一：利用三角函数线比较大小1利用三角函数线比较下列各组数的大小：sin 与sin ；tan 与tan .解：如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，sin ，tan ；的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，则sin ，tan ，由图可见，|，且与都与y轴正方向相同，所以sinsin；|，且与都与y轴正方向相反，所以tantan.题点二：利用三角函数线解不等式2在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .解：(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为题点三：利用三角函数线求函数的定义域3求函数f(x)ln的定义域解：由题意，得自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为.1利用三角函数线比较大小的两个关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向2利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线yb或xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围(2)正切型不等式的解法对于tan xc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围3利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想 层级一学业水平达标1角和角有相同的()A正弦线B余弦线C正切线 D不能确定解析：选C在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等2已知角的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角的终边在()A直线yx上B直线yx上C直线yx上或直线yx上Dx轴上或y轴上解析：选C由角的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan 1，故角的终边在直线yx上或直线yx上3设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则有()Aabc BbacCcab Dac0，ctan(1)AT0，asin(1)MPAT，ca1 Bsin cos 1Csin cos 1.6若角的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为_解析：若角的余弦线长度为0，则的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_解析：如图，sin 1MP，cos 1OM.显然MPOM，即sin 1cos 1.答案：sin 1cos 18若，则sin 的取值范围是_解析：由图可知sin，sin1，1sin ，即sin .答案：9作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)；(2).解：(1)如图(1)所示，在单位圆中，分别表示角的正弦线、余弦线、正切线(2)如图(2)所示，在单位圆中，分别表示角的正弦线、余弦线、正切线10求下列函数的定义域(1)ylg.(2)y.解：(1)为使ylg有意义，则sin x0，所以sin x，所以角x终边所在区域如图所示，所以2kx2k，kZ.所以原函数的定义域是.(2)为使y有意义，则3tan x0，所以tan x，所以角x终边所在区域如图所示，所以kxk，kZ，所以原函数的定义域是.层级二应试能力达标1下列三个命题：与的正弦线相等；与的正切线相等；与的余弦线相等其中正确命题的个数为()A1B2C3 D0解析：选B和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同2若是三角形的内角，且sin cos ，则这个三角形是()A等边三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析：选D当0时，由单位圆中的三角函数线知，sin cos 1，而sin cos ，必为钝角3如果，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 解析：选A如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出|，且都与坐标轴的正方向相同即cos sin tan .4使sin xcos x成立的x的一个变化区间是()A. B.C. D0，解析：选A如图，画出三角函数线sin x，cos x，由于sincos，sin cos ，为使sin xcos x成立，则由图可得x.5sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是_解析：由图可知：cos 0，sin 0.|，且，与y轴正方向相同，sin tan .故cos sin tan .答案：cos sin tan 6若02，且sin .利用三角函数线，得到的取值范围是_解析：利用三角函数线得的终边落在如图所示AOB区域内，所以的取值范围是.答案：7利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围(1)sin ；(2)cos .解：(1)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即2k2k，kZ.(2)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即2k2k或2k2k，kZ.8若0，证明：sin tan .证明：如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，SOAPS扇形OAPSOAT，|OA|MP|l|OA|OA|AT|，|MP|l|AT|，sin tan .12.3同角三角函数的基本关系式预习课本P2224，思考并完成以下问题 (1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知sin ，cos 和tan 其中的一个值，如何求其余两个值？同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_.这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.点睛同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式成立与角的表达形式无关，如sin23cos231.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin2cos21都成立()(2)对任意角，tan 2都成立()(3)若cos 0，则sin 1.()答案：(1)(2)(3)2已知，sin ，则cos ()A.BC D.答案：A3已知cos ，且是第四象限角，则sin ()ABCD答案：C4已知sin ，则tan _.答案：利用同角基本关系式求值典例(1)已知sin ，并且是第二象限角，求cos 和tan .(2)已知sin 2cos 0，求2sin cos cos2的值解(1)cos21sin2122，又是第二象限角，所以cos 0，cos ，tan .(2)由sin 2cos 0，得tan 2.所以2sin cos cos21.1求三角函数值的方法(1)已知sin (或cos )求tan 常用以下方式求解(2)已知tan 求sin (或cos )常用以下方式求解当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间(象限)讨论2已知角的正切求关于sin ，cos 的齐次式的方法(1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值活学活用(1)已知cos ，求sin 和tan .(2)已知tan 2，试求的值解：(1)sin21cos2122，因为cos 0，cos 0，所以原式1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的活学活用化简：(1) ；(2) .解：(1)原式 1.(2)原式1.证明简单的三角恒等式典例求证：.证明法一：左边右边，原等式成立法二：右边左边，原等式成立法三：左边，右边，左边右边，原等式成立法四：0，.法五：(tan sin )(tan sin )tan2sin2tan2tan2cos2tan2(1cos2)tan2sin2，.证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想(4)比较法：即证左边右边0或证1.活学活用求证：2(1sin )(1cos )(1sin cos )2.证明：法一：左边22sin 2cos 2sin cos 1sin2cos22sin cos 2(cos sin )12(cos sin )(cos sin )2(1sin cos )2右边法二：左边22sin 2cos 2sin cos ，右边1sin2cos22sin 2cos 2sin cos 22sin 2cos 2sin cos ，左边右边.sin cos 型求值典例已知sin cos (0)，求sin cos 和sin cos 的值解因为sin cos (00，所以sin cos .已知sin cos ，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解涉及的三角恒等式有：(sin cos )212sin cos ；(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin cos )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .上述三角恒等式告诉我们，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的任何一个，则另两个式子的值均可求出活学活用1已知0，且sin cos ，求sin cos ，tan 的值解：sin cos ，(sin cos )2.解得sin cos .00，sin 0，cos 0.sin cos .由得tan .2若0，sin cos ，求sin cos .解：0，sin cos 0，cos 0.sin cos .层级一学业水平达标1(福建高考)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A.BC. D解析：选D因为sin ，且为第四象限角，所以cos ，所以tan ，故选D.2若为第三象限角，则的值为()A3 B3C1 D1解析：选B为第三象限角，原式3.3下列四个结论中可能成立的是()Asin 且cos Bsin 0且cos 1Ctan 1且cos 1D是第二象限角时，tan 解析：选B根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当时，sin 0且cos 1，故B成立，而A、C、D都不成立4已知sin ，则sin4cos4的值为()A BC. D.解析：选Asin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2(1sin2)2sin21221.5若是三角形的最大内角，且sin cos ，则三角形是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D等腰三角形解析：选B将sin cos 两边平方，得12sin cos ，即2sin cos .又是三角形的内角，sin 0，cos 0，为锐角6若sin ，tan 0，则cos _.解析：由已知得是第三象限角，所以cos .答案：7化简：_.解析：原式 |cos 40sin 40|cos 40sin 40.答案：cos 40sin 408已知tan ，则_.解析：.答案：9化简：(1)；(2).解：(1)原式1.(2)原式cos .10已知sin cos ，求tan 及sin cos 的值解：将sin cos 两边平方，得sin cos .tan 3，(sin cos )212sin cos 1，sin cos .层级二应试能力达标1已知tan ，且，则sin 的值是()AB.C. D解析：选A，sin 0.由tan ，sin2cos21，得sin .2化简(1cos )的结果是()Asin Bcos C1sin D1cos 解析：选A(1cos )(1cos )(1cos )sin .3已知是第三象限角，且sin4cos4，则sin cos 的值