高中数学 黄金100题系列 第76题 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题 理

第76题 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题I题源探究黄金母题【例1】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线【解析】设圆，即，圆心，半径；设圆，即，圆心，半径，设动圆圆心为，半径为，由于动圆与圆外切，则，由于动圆与圆内切，则 ，所以，而，因此点的轨迹是以为焦点的椭圆设椭圆方程为：，动圆圆心的轨迹方程为，它表示一个焦点在轴上的椭圆精彩解读【试题来源】人教版选修2-1第50页习题22B组第2题【母题评析】本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程求轨迹问题在近几年高考试题中很常见，采用命题的形式往往是解答题的其中一步【思路方法】利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，经过推到转化为动点需要满足的条件要求，符合定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹II考场精彩真题回放【例1】【2017新课标III】已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 （ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线：的渐近线方程为，椭圆中：，椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组，解得，则双曲线的方程为，故选B【例2】【2017高考新课标II】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）A2 B C D【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为：，圆心到渐近线距离为：，不妨考查点到直线的距离：，即：，整理可得，双曲线的离心率故选A【例3】【2017新课标I】已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心率为_【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，而，点到直线的距离在中，代入计算得，即，由得，【例4】【2017高考新课标III】已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为，或直线的方程为，圆的方程为【解析】试题分析：(1)设出点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为 可得，即得结论；(2)结合(1)的结论求得实数 的值，分类讨论即可求得直线 的方程和圆 的方程试题解析：(1)设 ， 由 可得 ，则 又 ，故 因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 故坐标原点 在圆 上(2)由(1)可得 故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 由于圆 过点 ，因此 ，故 ，即 由(1)可得 所以 ，解得 或 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为【例5】【2017高考山东卷】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为（）求椭圆的方程；（）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率【答案】（I）（）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为【解析】试题分析：（I）本小题由，确定即得（）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及圆的半径表达式进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，研究其取值范围这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式试题解析：（I）由题意知 ，所以 ，因此 椭圆的方程为（）设，联立方程得，由题意知，且，所以 由题意可知圆的半径为由题设知，所以因此直线的方程为联立方程得，因此 由题意可知 ，而，令，则，因此 ，当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此，所以最大值为综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为【例6】【2017高考天津卷】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【答案】 （1）， （2），或【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程试题解析：（）解：设的坐标为依题意，解得，于是所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去，整理得，解得，或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故所以又因为的面积为，故，整理得，解得，所以所以，直线的方程为，或【命题意图】本类题通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基本方法的掌握情况及对圆锥曲线的概念的掌握情况【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少，难度持中，一般会出现在解答题中的一步【难点中心】1双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可2直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部III理论基础解题原理考点一 椭圆与圆相结合的问题圆与的结合点有：（1）圆的几何性质与椭圆相联系；（2）利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系考点二 双曲线与圆结合的问题由于双曲线具有渐近线，故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查，进而求解双曲线的几何性质，如离心率的求解圆与双曲线的结合点有：（1）利用圆的性质解决双曲线的相关问题；（2）圆的切线与双曲线相联系；考点三 抛物线与圆相结合的问题圆与抛物线的结合点有：（1）圆的性质与抛物线相结合；（2）抛物线的性质与圆的相联系IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题，可以是选择题、填空题，难度中等，也可以是解答题，这是难度大，为压轴题【技能方法】灵活运用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质解决问题【易错指导】解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地运用导数的几何意义求抛物线上点的切线的斜率，进而导致出现错误；其二是不能正确地找出直线与圆的位置关系即切线与过切点的半径垂直的结论，从而导致无法求解V举一反三触类旁通考向一 椭圆与圆相结合的问题 【例1】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是_【答案】【点评】本题通过圆的性质将两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径进行解决【例2】【2018湖南师大附中模拟】已知椭圆的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆：的圆心（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线，分别交轴于点、试推断是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)由已知条件分别求出的值，而，代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点满足题意，设点（），利用条件求出直线方程，根据圆心到直线的距离为，求出与点坐标之间的关系，同理求出与点坐标之间的关系，利用韦达定理求出的表达式，算出，求出点坐标【解析】（1）设椭圆方程，半焦距为，因为椭圆的右焦点是圆的圆心，则，因为椭圆的离心率为，则，即，从而，故椭圆的方程为由此可知，为方程的两个实根，所以，因为点在椭圆上，则，即，则，令，则，因为，则，即，故存在点满足题设条件【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题【例3】已知椭圆：（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论【分析】（1）把椭圆：化为标准方程，确定，利用求得离心率；（2）设点，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系（2）直线与圆相切，证明如下：设点，其中，因为，所以，即，解得，当时，代入椭圆的方程得，此时直线与圆相切当时，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，又，故故此直线与圆相切【跟踪练习】1【2018江西吉安模拟】已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（I）；（II）不存在，理由见解析（II）设点，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，化简得到，因为-4为方程的一个根，所以，所以所以因为圆心到直线的距离为，所以因为，代入得到，显然，所以不存在直线，使得2已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围【分析 】(1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值； (2)由(1)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程；(3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围 (3)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得当时，有，因此，于是，得当时，有，因此，于是，得综上所述，直线的斜率的取值范围是3【2015福建高考理18】已知椭圆过点，且离心率(1)求椭圆的方程； (2)设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由【解析】解法一：（1）由已知得，解得，所以椭圆的方程为故，所以故点在以为直径的圆外解法二：（1）同解法一（2）设点，则，由，得，所以，从而，所以又，不共线，所以为锐角故点在以为直径的圆外4如图所示，已知、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值【解析】：（1）依题意知：椭圆的长半轴长，则，解法二：设在椭圆上存在点，使得，设，则，即，又点在椭圆上，由式得代入式并整理得：，方程的根判别式，方程有两个不相等的实数根，即满足条件的点存在，且有两个；解法二：设点、，则，直线的方程为，化简得，同理可得直线的方程为，把点的坐标代入、得，直线的方程为， 令，得，令得，又点在椭圆上，即（定值）5【2018河北正定中学月考】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【答案】（1） ；（2）的面积为定值 ，8分 ，6如图，已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N（）求椭圆C的方程；（）求的最小值，并求此时圆T的方程；（）设点P是椭圆C 上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点试问；是否存在使最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由（II）点M与点N关于轴对称，设，不妨 设，由于点M在椭圆C上， 由已知， ， 由于故当时，取得最小值为，当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得，故圆T的方程为：；7【2018浙江临海统练】已知抛物线： ，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）XYOABF（1）当时，求直线的方程； （2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围【答案】（1）；（2）（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故，则，则点F到距离，则，今 则，故8如图所示，已知、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，若直线 在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值（2）解法一：设在椭圆上存在点，使得，设，则，即点在直线上，点即直线与椭圆的交点，直线过点，而点椭圆在椭圆的内部，满足条件的点存在，且有两个；解法二：设在椭圆上存在点，使得，设，则，即，又点在椭圆上，由式得代入式并整理得：，方程的根判别式，方程有两个不相等的实数根，即满足条件的点存在，且有两个；（3）解法一：设点，由、是圆的切点知，、四点在同一圆上，且圆的直径为，则圆心为，其方程为，即，即点、满足方程，又点、都在圆上，、坐标也满足圆的方程，得直线的方程为，令，得，令得，又点在椭圆上，即（定值）；考向二 双曲线与圆相结合的问题【例4】已知点是双曲线的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P，且点P在抛物线上，则e2 =（ ）A B C D【答案】D【点评】本题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一起，从而确定点P的坐标，进而建立等量关系求解双曲线的离心率【例5】已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则( )A B C D与关系不确定【答案】C【例6】已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则( )A B C D与关系不确定【答案】C【跟踪练习】1【2017河北定州市上学期期中】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆 ：作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A10 B13 C16 D19【答案】B【解析】由题可知，因此故选B2【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】C3【2018河北武邑调研】已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为_【答案】4双曲线的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若此圆在点处的切线的斜率为，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】设切点为，则，代入，化简得：5已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且圆的方程是（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：解：（1）设的坐标分别为 因为点在双曲线上，所以，即，所以 在中，所以 2分由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为： 4分（3）由题意，即证：设，切线的方程为： 11分 当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：所以： 又13分 所以 15分当时，易知上述结论也成立 所以 16分综上，所以 6圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程【解析】（）由（）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中由在上，得，显然，l不是直线y=0设l的方程为x=my+，点由 得，又是方程的根，因此 ，考向三 抛物线与圆相结合的问题【例7】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的4 ，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径r最大取 时，才能使玻璃球触及杯底【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，酒杯所在抛物线的方程设为，因为过点，所以，即玻璃球触及杯底，就是小球的截面圆与抛物线有且仅有一个交点，即原点由与消去得：或因为有且仅有一个交点，即原点，所以即半径r最大取1【例8】【2018重庆模拟】已知椭圆离心率为，焦距为，抛物线的焦点是椭圆的顶点（）求与的标准方程；（）设过点的直线交于两点，若的右顶点在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围【分析】（）椭圆的焦距为，得椭圆的标准方程，得到抛物线焦点，可得抛物线方程；（）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得，在以为直径的圆内，得结果（）由题意可设直线的方程为：，设点，联立得，由韦达定理得，在以为直径的圆内，【例9】 已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标【解析】：（）由已知得M(，0)，C(2，0)设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|于是|CR|，所以|CM|3，即23，p2故抛物线E的方程为y24x【跟踪练习】1【2018四川双流模拟】已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，当点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小时，点的横坐标为（ ）A B C D【答案】A2【2018河南郑州模拟】已知抛物线，点Q是圆上任意一点，记抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】C3【2018吉林长春模拟】已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是 【答案】4已知圆的圆心为抛物线的焦点，直线与圆相切，则该圆的方程为_【答案】5如图，抛物线： 与圆： 相交于， 两点，且点的横坐标为过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于， 两点，分别以， 为切点作抛物线的切线， ， 与相交于点（）求的值；（）求动点的轨迹方程【注意问题】求出轨迹方程后注意范围，不符合的点6已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程【解析】：（I）设，代入，得由题设得，解得（舍去）或，C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得设则故的中点为又的斜率为的方程为将上式代入，并整理得设则故的中点为由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或所求直线的方程为或7已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程为将上式代入，并整理