高中数学 第二章 平面解析几何初步 2_1_4 两条直线的交点学案 苏教版必修2

2.1.4两条直线的交点学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问题.知识点直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程AxByC0的解有什么样的关系？思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？梳理(1)两直线的交点几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线l1l1：A1xB1yC10点A在直线l1上直线l1与l2的交点是A(2)两直线的位置关系方程组的解一组无数组直线l1，l2的公共点个数一个零个直线l1，l2的位置关系重合类型一两直线的交点问题命题角度1代数法判断两直线的位置关系例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.反思与感悟两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练1直线y2x与直线xy3的交点坐标是_.命题角度2根据交点求参数的值或其范围引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？例2已知直线5x4y2a1与直线2x3ya的交点位于第四象限，则a的取值范围是_.反思与感悟求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围.跟踪训练2若直线l1：ykxk2与l2：y2x4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是_.类型二求过两条直线交点的直线方程例3求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程.引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.跟踪训练3直线l经过原点，且经过另外两条直线2x3y80，xy10的交点，则直线l的方程为_.类型三直线恒过定点问题例4求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一定点，并求出这个定点坐标.反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0).跟踪训练4不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5恒过的定点坐标是_.1.已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点是_.2.已知直线y2x10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_.3.不论m取什么实数，直线mxym0都过定点的坐标为_.4.下列各组直线中，两直线相交的为_.(填序号)yx2和y1；xy10和yx5；xmy10(m2)和x2y10；2x3y10和4x6y10.5.直线l过直线2xy40与x3y50的交点，且垂直于直线x2y0，则直线l的方程是_.1.方程组有惟一解的等价条件是A1B2A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2A2B10.2.直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线A1xB1yC10与A2xB2yC20交点的直线.答案精析问题导学知识点思考1直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标思考2只需写出这两条直线的方程，然后联立求解思考3(1)若方程组无解，则l1l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合梳理(1)A1aB1bC10(2)无解无数个相交平行题型探究例1解(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.跟踪训练1(1,2)例2(，2)引申探究解由例2得交点坐标为(，)，则由得a.跟踪训练2例3解解方程组得所以两直线的交点坐标为(，)又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3(x)，即15x5y160.引申探究解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，所以3(2)(3)10，解得，所以所求直线方程为5x15y180.跟踪训练32xy0例4证明对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，3)将点(2，3)代入方程组左边，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(