高中数学 第二章 平面解析几何初步章末复习课学案 苏教版必修2

第二章 平面解析几何初步学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练应用待定系数法求直线与圆的方程.3.能解决一些简单的直线与圆的综合问题，渗透数形结合等数学思想.1.直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0.倾斜角的取值范围：_.(2)直线的斜率定义：_.过两点的直线的斜率公式：_.(3)斜率的求法依据倾斜角.依据直线方程.依据两点的坐标.2.直线方程的几种形式的转化3.两条直线的平行与垂直l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k2，b1b2；l1l2k1k21.4.两条直线的交点l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20相交，交点坐标即方程组的一组解.方程组_解l1l2；方程组有_解l1与l2重合.5.距离公式(1)两点间的距离公式平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2_.(2)点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为d_.两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20的距离为d_.6.圆的方程(1)圆的标准方程：_.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0_.7.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(xa)2(yb)2r2，(1)(x0a)2(y0b)2r2点P_.(2)(x0a)2(y0b)2 r1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|10.求圆的方程时常用的四个几何性质11.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式AB|xAxB|.注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.12.空间中两点的距离公式一般地，空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2_.类型一待定系数法的应用命题角度1求直线方程例1直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程.反思与感悟待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为的直线的方程.命题角度2求圆的方程例2根据条件求下列圆的方程.(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上的圆的方程；(2)求半径为，圆心在直线y2x上，被直线xy0截得的弦长为4的圆的方程.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组).第三步：解出a，b，r(或D，E，F).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点的连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练2如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且AB2，则圆C的标准方程为_.类型二分类讨论思想的应用例3已知直线l经过点P(4，3)，且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8，求直线l的方程.反思与感悟对于求直线方程的问题，用斜率表示直线方程，要注意讨论斜率不存在的情况.跟踪训练3如图，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切.过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程.类型三数形结合思想例4已知三条直线l1：x2y0，l2：y10，l3：2xy10两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.反思与感悟本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果.跟踪训练4已知点A(1,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足，设动点M的轨迹为C.(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；(2)求动点M与定点B连线的斜率的最小值；(3)设直线l：yxm交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.1.下列有关直线l：xmy10的说法：直线l的斜率为m；直线l的斜率为；直线l过定点(0,1)；直线l过定点(1,0).其中正确的说法是_.(填序号)2.直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，那么l的方程为_.3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为_.4.过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，则这两条直线的方程分别为_.5.已知直线xmy30和圆x2y26x50.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值.1.待定系数法是求解直线与圆的方程的一种非常重要的方法.2.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.3.(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.答案精析知识梳理1(1)00)7(1)在圆外(2)在圆内(3)在圆上8drdrdr12.题型探究例1解方法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.方法二当直线l斜率的不存在时，经检验知不合题意设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.方法三两直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0，将上述方程中(x，y)换成(2x,4y)，整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程为(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10，即为所求的直线方程跟踪训练1解当直线过原点时，设直线的方程为ykx，即kxy0.由题意知，解得k1或k.所以所求直线的方程为xy0或x7y0.当直线不过原点时，设所求直线的方程为1，即xya0.由题意知，解得a2或a6.所以所求直线的方程为xy20或xy60.综上可知，所求直线的方程为xy0或x7y0或xy20或xy60.例2解(1)由题意知，线段AB的垂直平分线方程为3x2y150，由解得圆心C(7，3)，半径为rAC.所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(2)方法一设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心坐标为(a，b)，半径为r，圆心(a，b)到直线xy0的距离为d.由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得d2()2r2，即810，(ab)24.又b2a，a2，b4或a2，b4，所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.方法二设圆的方程为(xa)2(yb)210，圆心C(a，b)在直线y2x上，b2a.由圆被直线xy0截得的弦长为4，将yx代入(xa)2(yb)210，得2x22(ab)xa2b2100.设直线yx交圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB4，(x1x2)24x1x216.x1x2ab，x1x2，(ab)22(a2b210)16，即ab2.又b2a，或所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.跟踪训练2(x1)2(y)22例3解圆(x1)2(y2)225的圆心为(1，2)，半径r5，当直线l的斜率不存在时，其方程为x4，由题意可知直线x4符合题意当直线l的斜率存在时，设其方程为y3k(x4)，即kxy4k30.由题意可知2252，解得k.即所求直线方程为4x3y250，综上所述，满足题设的直线l的方程为x4或4x3y250.跟踪训练3解(1)设圆A的半径为r.由于圆A与直线l1：x2y70相切，r2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连结AQ，则AQMN.MN2，AQ1，则由AQ1，得k.直线方程为3x4y60.综上，直线l的方程为x2或3x4y60.例4解画图如下：由直线方程易知l2平行于x轴，l1与l3互相垂直，三个交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆由解得点A的坐标为(2，1)由解得点B的坐标为(1，1)线段AB的中点坐标为(，1)又AB|1(2)|3，圆的方程是(x)2(y1)2.跟踪训练4解(1)由题意，得MA，MB.，化简，得(x2)2y24.轨迹C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆(2)设过点B的直线为yk(x2)由题意，得圆心到直线的距离d2.解得k，即kmin.(3)假设存在，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立方程得2x22(m2)xm20.x1x2m2，x1x2.y1y2m2，y1y2.设以PQ为直径经过点A的圆的圆心为O，则点O的坐标为O(，)，OAOP, .整理得(x1x22)2(y1y2)2(x1x2)2(y1y2)24x1x24y1y2，将代入得m23m10，解得m.故当m时，存在以线段PQ为直径的圆经过点A.当堂