高中数学 第二章 概率 5 第2课时 离散型随机变量的方差学案 北师大版选修2-3

第2课时离散型随机变量的方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 知识点离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为X012PY012P思考1试求EX，EY.思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用E(XEX)2来衡量X与EX的_，E(XEX)2是(XEX)2的_，称E(XEX)2为随机变量X的方差，记为_(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越_，随机变量的取值越分散；方差越_，随机变量的取值就越集中在其均值周围(3)参数为n，p的二项分布的方差当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DXnp(1p)类型一求离散型随机变量的方差命题角度1已知分布列求方差例1已知X的分布列如下：X101Pa(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y4X3，求Y的均值和方差反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DXEX2(EX)2不失为一种比较实用的方法另外注意方差性质的应用，如D(aXb)a2DX.跟踪训练1已知的分布列为010205060P(1)求方差；(2)设Y2E，求DY.命题角度2未知分布列求方差例2某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙假设n4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差反思与感悟(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤理解X的意义，写出X可能取的全部值求X取每个值的概率写X的分布列求EX，DX.(2)若随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，则EXnp，DXnp(1p)跟踪训练2在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差类型二方差的实际应用例3某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和.项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由反思与感悟均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断跟踪训练3甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量与，且，的分布列为123Pa0.10.6123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)计算，的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况1已知随机变量X的分布列为X101P则下列式子：EX；DX；P(X0).其中正确的个数是()A0 B1 C2 D32已知随机变量X的分布列为P(Xk)(k1,2,3)，则D(3X5)等于()A6 B9 C3 D43已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若EX0，DX1，则a_，b_.X1012Pabc4.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知EXEY，DXDY，则自动包装机_的质量较好(填“甲”或“乙”)5编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是，求E和D.1随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散2随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量答案精析问题导学思考1EX012，EY012.思考2不能，因为EXEY.思考3方差梳理(1)平均偏离程度均值DX(2)大小题型探究例1解(1)由分布列的性质，知a1，故a，从而X2的分布列为X201P(2)方法一由(1)知a，所以X的均值EX(1)01.故X的方差DX(1)2(0)2(1)2.方法二由(1)知a，所以X的均值EX(1)01，X2的均值EX201，所以X的方差DXEX2(EX)2.(3)因为Y4X3，所以EY4EX32，DY42DX11.跟踪训练1解(1)E01020506016，D(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，(2)Y2E，DYD(2E)22D43841 536.例2解X可能的取值为0,1,2,3,4，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).即X的分布列为X01234PEX012342，DX(02)2(12)2(22)2(32)2(42)2.跟踪训练2解X的可能取值为1,2,3,4,5.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)1.X的分布列为X12345P0.20.20.20.20.2由定义知，EX0.2(12345)3.DX0.2(41014)2.例3解若按项目一投资，设获利X1万元，则X1的分布列为X1300150PEX1300(150)200(万元)DX1(300200)2(150200)235 000，若按项目二投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X25003000PEX2500(300)0200(万元)DX2(500200)2(300200)2(0200)2140 000，EX1EX2，DX1DX2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资跟踪训练3解(1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a0.10.61，所以a0.3.同理，0.3b0.31，所以b0.4.(2)E10.320.130.62.3，E10.320.430.32.D(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81，D(12)20.3(22)20.4(32)20.30.6.由于EE，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DD，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势当堂训练1C2.A3.4.乙5解的所有可能取值为0,1,3，0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(0)；1表示三位同学只