高中数学 第一章 解三角形 1_3 正弦定理、余弦定理的应用（二）学案 苏教版必修5

1.3 正弦定理、余弦定理的应用（二）学习目标1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体的高度测量问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识知识点一测量仰角(或俯角)求高度问题思考如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物的高度AB(已知测角仪器的高是h)?梳理问题的本质用、m表示AE的长，所得结果再加上h.知识点二测量方向角求高度问题思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，怎样求此山的高度CD?梳理问题本质是：如图，已知三棱锥 DABC，DC平面ABC，ABm，用、m、表示DC的长类型一测量仰角(或俯角)求高度问题命题角度1仰角问题例1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，求A点离地面的高AB.引申探究如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的坡度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，求cos .命题角度2俯角问题例2在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30、60，则塔高为_ m.反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要对所给的实际背景进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题跟踪训练1江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_ m.类型二测量方位角求高度问题例3如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练2如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_ m.1一架飞机在海拔8 000 m的高空飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30和45，则这个海岛的宽度为_ m(精确到0.1 m)2甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_ 米3如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，则建筑物的高度为_ m.4设A是ABC中最小的内角，则sin Acos A的取值范围是_1在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式2测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题答案精析问题导学知识点一思考解题思路是：在ACD中，所以AC，在RtAEC中，AEACsin ，ABAEh.所以ABh.知识点二思考先在ABC中，用正弦定理求BC，再在RtDBC中求DCBCtan 8.题型探究例1解方法一设ABx m，则BCx mBD(10x)m.tanADB.解得x5(1)m.A点离地面的高AB为5(1)m.方法二ACB45，ACD135，CAD1801353015.由正弦定理，得ACsinADCsin 30.ABACsin 455(1)m.引申探究解在ABC中，由正弦定理，AC100.在ADC中，cos sin(90)1.例2解析如图，在ABC中，BCABtanBAC200tan 30(m)，AEBC，则DEAEtan 30(m)，所以塔高CD200(m)跟踪训练130例3解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m)即山的高度为800(1) m.跟踪训练210当堂训练