高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1_3_1 圆幂定理学案 新人教b版选修4-1

13.1圆 幂 定 理对应学生用书P25读教材填要点1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项3圆幂定理已知(O，r)，通过一定点P，作O的任一条割线交圆于A，B两点，则PAPB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，kPO2r2，(2)当点P在圆内时，kr2OP2，(3)当点P在O上时，k0.小问题大思维1从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等2从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离对应学生用书P26相交弦定理的应用例1如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PDa，OAP30，求CP的长思路点拨本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用解决本题需要先在RtOAP中，求得AP的长，然后利用相交弦定理求解精解详析P为AB的中点，由垂径定理得OPAB.在RtOAP中，BPAPacos30a.由相交弦定理，得BPAPCPDP，即2CPa，解之得CPa.在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项1如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_解析：因为AF3，EF，FB1，所以CF2，因为ECBD，所以ACFADB，所以，所以BD，且AD4CD，又因为BD是圆的切线，所以BD2CDAD4CD2，所以CD.答案：切割线定理的应用例2自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且BMP100，BPC40.求MPB的大小思路点拨本题考查切割线定理，由定理得出BMPPMC而后转化角相等进行求解精解详析因为MA为圆O的切线，所以MA2MBMC.又M为PA的中点，所以MP2MBMC.因为BMPPMC，所以BMPPMC，于是MPBMCP.在MCP中，由MPBMCPBPCBMP180，得MPB20.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一2.(北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA3，PDDB916，则PD_；AB_.解析：设PD9t，DB16t，则PB25t，根据切割线定理得329t25t，解得t，所以PD，PB5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB4.答案：4三个定理的综合应用例3如图所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，弦CDAP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2EFEC.(1)求证：PEDF；(2)求证：CEEBEFEP；(3)若CEBE32，DE6，EF4，求PA的长思路点拨本题考查切割线定理、相交弦定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用精解详析(1)证明：DE2EFEC，DECEEFED.DEF是公共角，DEFCED.EDFC.CDAP，CP.PEDF.(2)证明：PEDF，DEFPEA，DEFPEA.DEPEEFEA.即EFEPDEEA.弦AD、BC相交于点E，DEEACEEB.CEEBEFEP.(3)DE2EFEC，DE6，EF4，EC9.CEBE32，BE6.CEEBEFEP，964EP.解得：EP.PBPEBE，PCPEEC.由切割线定理得：PA2PBPC，PA2.PA.相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理3如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_解析：设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r .答案：对应学生用书P27一、选择题1.如右图，O的直径CD与弦AB交于P点，若AP4，BP6，CP3，则O半径为()A5.5B5C6 D6.5解析：由相交弦定理知APPBCPPD，AP4，BP6，CP3，PD8.CD3811，O的半径为5.5.答案：A2如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PAAB ，CD3，则PC等于()A2或5 B2C3 D10解析：设PCx，由割线定理知PAPBPCPD.即2 x(x3)，解得x2或x5(舍去)故选B.答案：B3.如图，AD、AE和BC分别切O于D，E，F，如果AD20，则ABC的周长为()A20 B30C40 D35解析：AD，AE，BC分别为圆O的切线AEAD20，BFBD，CFCE.ABC的周长为ABACBCABACBFCF(ABBD)(ACCE)ADAE40.答案：C4如图，ABC中，C90，O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若COOB13，AD2，则BE等于()A. B2C2 D1解析：连接OD，则ODBD，RtBODRtBAC.设O的半径为a，OCOB13，OEOC，BEEC2a.由题知AD、AC均为O的切线，AD2，AC2.，BD2a2.又BD2BEBC，BD22a4a8a2.4a48a2，a.BE2a2.答案：B二、填空题5(重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，则AB_.解析：如图所示，由切割线定理得PA2PBPCPB(PBBC)，即62PB(PB9)，解得PB3(负值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，则，即，解得AB4.答案：46如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421.若CE与圆相切，则线段CE的长为_解析：设BEx，则FB2x，AF4x，由相交弦定理得DFFCAFFB，即28x2，解得x，EA，再由切割线定理得CE2EBEA，所以CE.答案：7.如图，O的弦ED、CB的延长线交于点A.若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE_；CE_.解析：由切割线定理知，ABACADAE.即463(3DE)，解得DE5.BDAE，且E、D、B、C四点共圆，C90.在直角三角形ACE中，AC6，AE8，CE2.答案：528(重庆高考)如图，在ABC中，C90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_解析：由题意得BCABsin 6010.由弦切角定理知BCDA60，所以CD5，BD15，由切割线定理知，CD2DEBD，则DE5.答案：5三、解答题9如图，PT切O于T，PAB，PDC是圆O的两条割线，PA3，PD4，PT6，AD2，求弦CD的长和弦BC的长解：由已知可得PT2PAPB，且PT6，PA3，PB12.同理可得PC9，CD5.PDPCPAPB，PDAPBC，BC6.10如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2 ，OA OM，求MN的长解：(1)证明：连接ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.由条件，根据切割线定理，有PN2PAPC，所以PM2PAPC.(2)依题意得OM2，在RtBOM中，BM 4.延长BO交O于点D，连接DN.由条件易知BOMBND，于是，即，得BN6.所以MNBNBM642.11如下图，已知O1和O2相交于A、B两点，过点A作O1的切线，交O2于点C，过点B作两圆的割线分别交O1，O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：PAPEPCPD；(2)当AD与O2相切，且PA6，PC2，PD12时，求AD的长解：(1)证明：连接AB，CE，CA切O1于点A，1D.又1E，DE.又23，APDCPE.即PAP