高考数学 数学思想的应用情形归纳 第02讲 转化化归思想情形之05-081

第02讲 转化化归思想情形之5-8【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解比较困难，通过观察、分析等思维过程,需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转化化归思想”.转化化归思想就是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.转化化归思想的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、转化化归要遵循的几个基本原则有：目标简单化原则、和谐统一性原则、熟悉化原则、直观化原则.四、本讲讲了转化化归思想情形之5-8, 情形5：未知已知的转化化归；情形6：构造创新的转化化归；情形7：否定逆否的转化化归；情形8：坐标解析的转化化归.【方法讲评】转化化归情形五未知已知的转化化归一般情况下，题目的未知和已知之间是存在必然的联系的，所以有时我们可以把未知的数学元素向已知的数学元素转化化归，从而充分利用已知条件，完成解题目标.【例1】 已知，,，求的值【点评】（1）三角恒等变换首先要注意观察 “角”，因为“角”是三角的主角，注意观察未知的角和已知的角之间的“和”、“差”、“倍”、“半”的关系，再决定变形的方向.（2）该题中，所以要先通过诱导公式把这样就和已知联系起来了.当然也可以把利用诱导公式变再把（3）三角恒等变换的方法主要是“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”.(4)本题就充分利用了转化的思想，是把未知的数学元素向已知的数学元素转化化归，完成解题目标.当然，如何把未知的向已知的转化化归，要注意观察未知和已知的数学元素的联系，才可以顺利完成转化化归，才可以顺利完成解题目标.【反馈检测1】设（）=，（）=，且，0，求.【例2】已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明： .【解析】（1）当 变化如下表+0-0+极大值极小值， （2）令 则 上为增函数. 【点评】（1）本题的第3问是本题的难点，初略看起来，好像和前面没有联系，仔细观察，它和第2问是有联系的. 第2问，当时，结论中的和第3问中的的结构基本一致，我们可以令，这样就和前面的结论联系起来了，这样，就可以利用前面的结论，把未知的向已知的转化化归，后面就水到渠成，顺利完成解题目标了. （2）在完成未知向已知的转化化归时，观察分析是比较关键的，这个“已知”可以是题目主干的条件，也可以是前面已经解答出来的结论.【反馈检测2】已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有转化化归情形六构造创新的转化化归有的数学问题，直接解答比较困难，但是，如果我们构造一个比较适当的新的“数学模型”，再利用这个数学模型来解答. 【例3】已知三棱锥，满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【解析】将该三棱锥补成为正方体，如图. .故选C.【点评】（1）直接找三棱锥外接球的球心，画图比较困难，解答也比较困难.但是，三棱锥的三条侧棱两两垂直，容易使我们联想到长方体和正方体，所以我们可以把这个特殊的三棱锥放到长方体这个数学“模型”中间去考虑，图画起来简单，解答起来也简单多了，这就是“数学模型”的魅力.这就是构造创新的转化化归的具体体现.（2）若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是长方体体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .【反馈检测3】三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，又，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【例4】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的顶点都在球的表面上，则球的体积是（ ）A. B. C. D. 【解析】【点评】（1）本题直接画三视图也比较困难，即使画出来了，解答也不是很方便.我们可以在长方体模型中寻找这个三视图对应的原图，解答起来就方便多了.【反馈检测4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【例5】已知函数， （为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若， ，且，都有成立，求实数的取值范围.所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，则只要解得，所以的取值范围是.（3）不妨设，因为函数在区间上是增函数，所以，等价于 在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以.【点评】（1）本题第3问，通过化简把要证明等价转化为，不等式两边非常对称，所以联想到函数的单调性，所以要先构造函数 ，后面就比较自然简单了，这就是典型的构造创新的转化化归.(2)本题主要是利用了构造新函数的方法，将原不等式转化为求在上为增函数,等价于在区间上恒成立,分离出,转化为求在上的最小值.实现了问题的等价转化，从而大大优化了解题，提供了解题效率. (3)构造函数时，同样要注意观察，为什么要构造，如何构造？都是我们应该考虑的问题.【反馈检测5】已知函数，记为的导函数.（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）讨论的解的个数；（3）证明：对任意的，恒有.转化化归情形七否定逆否的转化化归如果一个数学问题含有否定的概念，我们研究起来不是很方便，由于原命题和其逆否命题的真假性是等价的，所以我们可以研究它们的逆否命题；如果一个数学命题，直接研究它比较困难，我们可以研究这个命题的否定，完成解题目标.【例6】已知命题实数满足，命题实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.从而有： ,解得： ,实数的取值范围是.【点评】（1）本题可以求和，再利用是的必要不充分条件解题.但是，有时求和，稍微复杂一些.如果利用逆否命题和原命题的等价性解题，就避免了求和.（2）是的必要不充分条件，等价于是的充分不必要条件.【反馈检测6】已知命题：；命题：（1）当时，解不等式；x；kw（2）当时，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【例7】已知函数 若函数在区间上不单调，求的取值范围所以此种情况不存在.当 当 所以此种情况不存在. 综合得当函数在上单调递增时，的取值范围为(2)当函数在上单调递减时，在上恒成立.令即在上的当 综合得当函数在上单调递减时，的取值范围为 综合（1）（2）得当函数在上单调时，实数的取值范围为 所以函数在上不单调时，实数的取值范围为且【点评】因为函数在的否定是函数在上单调，即函数在上单调递增或单调递减.所以我们可以先求出函数在单调递增或单调递减时参数的范围，最后求在参数取值全集上的补集即可.这实际上是“补集法”.【反馈检测7】已知函数.如果函数在区间不单调，求的取值范围.转化化归情形八坐标解析的转化化归利用代数的方法解析代数的问题，利用几何解析几何的问题，有时比较复杂，解题效率比较低，如果利用坐标解析法就比较简洁高效.【例8】已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（ ）A1 B2 C4 D6【点评】（1）虽然本题已知中没有直角坐标系，但是，它有“正方形”，所以很方便建立直角坐标系，建立了直角坐标系后，各个点的坐标很容易写出来，解题就很方便快捷.（2）如果已知中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、菱形等，可以尝试建立直角坐标系，求向量的数量积. （3）坐标解析法是研究数学问题的一个重要方法，如果方便建立坐标系，可以建立直角坐标系，优化解题，提高解题效率.【反馈检测8】在中，,，为的三等分点，则（ ）A B C D【例9】已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点(1)证明：面面；(2)求与所成的角；(3)求面与面所成二面角的余弦值【解析】证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图1所示空间直角坐标系，则取法向量为，故，即所求二面角的余弦值为【点评】（1）由于本题的二面角的平面角不易作出，而建立空间直角坐标系和写坐标都比较方便，所以可以建立空间直角坐标系选用向量的方法，简洁高效.（2）求二面角的平面角一般按照以下程序进行：先考虑能否用几何的方法（找作证指求），如果不方便就用坐标法解答.【反馈检测9】如图，四边形是直角梯形，又，直线与直线所成的角为.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.转化化归思想在高中数学中的应用情形归纳 第02讲：转化化归思想情形之5-8参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】，.故由（）=，得）=.【反馈检测2答案】（1）当时，；当时，；当时，.(2) 或;（3）见解析.【反馈检测2详细解析】（1）当时，其定义域为因为，所以在上是增函数故当时，；当时，；当时， x*/kw（2）当时，其定义域为，令得，因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为又当时，；当时，因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点.所以或 （3）方法一：根据（1）的结论知当时，即当时，即令，则有从而得， 故得即所以 （3）方法二：用数学归纳法证明：当时，不等式左边，右边所以即即当时，不等式也成立综合知，对于一切正整数，都有【反馈检测3】A【反馈检测3详细解析】由已知条件,将三棱锥扩展为正方体,则外接球的球心为体对角线的中点,因为满足,在中,斜边,在中, ,所以球的半径 ,故球的表面积 .选A.【反馈检测4答案】D【反馈检测5答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【反馈检测5详细解析】（1）由已知可得，函数的定义域为，所以又切线垂直于直线，所以，即，所以当时， 有两解.（3）要证明 因为所以即要证明 即要证明 令在单调递减，又. 【反馈检测6答案】（1）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（2）.【反馈检测6详细解析】（1），所以对应的两根为，x*k-=w当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（2）由可得，所以，即由（1）知，当时，不等式的解集为，所