高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3_1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3_2 空间向量基本定理学案 北师大版选修2-1

3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一空间向量基本定理思考1平面向量基本定理的内容是什么？思考2平面向量的基底唯一确定吗？梳理(1)空间向量基本定理条件三个_的向量e1，e2，e3和空间_向量a结论存在唯一一组实数1，2，3，使得_(2)基底条件：三个向量e1，e2，e3_.结论：_叫作空间的一个基底.基向量：基底中的向量e1，e2，e3都叫作基向量.知识点二空间向量的坐标表示思考1平面向量的坐标是如何表示的？思考2基底不同，向量的坐标相同吗？梳理空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两_的_向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以_的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系空间向量的坐标表示在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间中任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得axiyjzk.我们把axiyjzk叫作a的_，把i，j，k叫作_.(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a(x，y，z)，a(x，y，z)叫作向量a的坐标表示类型一基底的概念例1若a，b，c是空间的一个基底.试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底？反思与感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.跟踪训练1(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()A.2a B.2bC.2a3b D.2a5c(2)以下四个命题中正确的是_.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.类型二用基底表示向量例2如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量. (1)；(2)；(3)；(4).反思与感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.跟踪训练2如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c.试用向量a，b，c表示向量.类型三空间向量的坐标表示例3在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F、G分别为棱DD、DC、BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标. (1)，；(2)，.引申探究本例中，若以，为基底，试写出，的坐标.反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，在基底a，b，c下的坐标为_.1.在以下三个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；若a、b是两个不共线的向量，而cab(、R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底.A.0 B.1C.2 D.32.已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)3.若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，则，的值分别为_.4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知ABAD2，BB11，则的坐标为_，的坐标为_.5.在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)1.基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.2.在空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.提醒：完成作业第二章33.13.2答案精析问题导学知识点一思考1如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.思考2不唯一.梳理(1)不共面任一a1e12e23e3(2)不共面e1，e2，e3知识点二思考1在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标.设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点).思考2不相同.梳理垂直单位e1，e2，e3标准正交分解标准正交基题型探究例1解假设ab，bc，ca共面，则存在实数、，使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c不共面，此方程组无解.ab，bc，ca不共面.ab，bc，ca可以作为空间的一个基底.跟踪训练1(1)D(2)例2解连接AC，AD.(1)()()(abc).(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.跟踪训练2解H为OBC的重心，D为BC的中点，()，()(bc).又，()()(abc).，(bc)(abc)a.例3解(1)，.(2)()()，()()