高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 1_2 椭圆的简单性质（二）学案 北师大版选修2-1

1.2椭圆的简单性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1,2)与椭圆y21的位置关系.思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？梳理设P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)的位置关系？梳理(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若0，则直线和椭圆_；若0，则直线和椭圆_；若b0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作_.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|，将y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|x1x2|，而|x1x2|，所以|AB|，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用0.例如，直线l：yk(x2)1和椭圆1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1点与椭圆位置关系的判断例1已知点P(k,1)，椭圆1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为_.引申探究若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1已知点(3,2)在椭圆1(ab0)上，则()A.点(3，2)不在椭圆上 B.点(3，2)不在椭圆上C.点(3,2)在椭圆上 D.以上都不正确命题角度2直线与椭圆位置关系的判断例2(1)直线ykxk1与椭圆1的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.不确定(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)0直线与椭圆相交有两个公共点.(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点.(3)0直线与椭圆相离无公共点.跟踪训练2(1)已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1 B.1或2 C.2 D.0(2)若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A. B.C. D.类型二弦长及中点问题例3已知椭圆1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.引申探究在本例中求弦AB的长.反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.跟踪训练3已知椭圆1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.跟踪训练4已知动点P(x，y)在椭圆1上，若点A的坐标为(3,0)，|1，且0，求|的最小值.1.若点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()A.a B.aC.2a2 D.1a，故点在椭圆外.思考2当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，0相切一解0相离无解0，解得k.即k的取值范围为.跟踪训练2(1)C(2)C例3解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1k(x2).将其代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1x2.又M为线段AB的中点，2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16，两式相减，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直线的方程为x2y40.方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4x,2y).A，B两点都在椭圆上，得x2y40.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.引申探究解由上例得直线AB方程为x2y40.联立方程组消去y并整理，得x(x4)0，得x0或x4，得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，故|AB|2.跟踪训练3解(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由消去y可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x20，x1x218.于是|AB| 63.所以线段AB的长度为3.(2)方法一设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4).联立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以4，解得k，且满足0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.例4解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB| .所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.跟踪训练4解由|1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，则| ，当|minac532时，|min.当堂训练1.A2.C3.24.(2,2)5.解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1