高中数学 第二章 函数 2_1_3 函数的单调性学案 新人教b版必修1

2.1.3函数的单调性学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.知识链接1.x22x2(x1)210；2.当x2时，x23x2(x1)(x2)0；3.函数y x23x2的对称轴为x.预习导引1.增函数与减函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量 xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数，当yf(x2)f(x1)0时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.要点一函数单调性的判定与证明例1求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数.证明对于任意的x1，x2(，0)，且x10，有yf(x2)f(x1).x1x20，x1x20，x1x20.yf(x2)f(x1)0.函数f(x)在(，0)上是增函数.对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在(0，)上是减函数.规律方法利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性.跟踪演练1已知函数f(x)，证明：函数f(x)在(1，)上为减函数.证明任取x1，x2(1，)，且x1x2.则f(x1)f(x2).x2x11，x2x10，(x11)(x21)0，因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上为减函数.要点二求函数的单调区间例2画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间.解y即y函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为(1,0)，(1，).规律方法1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确.2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.跟踪演练2作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间.解f(x)的图象如图所示.由图象可知：函数的单调减区间为(，1和(1,2；单调递增区间为(2，).要点三函数单调性的简单应用例3已知函数f(x)，x2,5.(1)判断该函数在区间2,5上的单调性，并给予证明；(2)求该函数在区间2,5上的最大值与最小值.解(1)f(x)在区间2,5上是减函数.证明如下：任意取x1，x22,5且x1x2，则f(x1)，f(x2).f(x2)f(x1).2x1x25，x1x20，x210，x110.f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1).f(x)在区间2,5上是减函数.(2)由(1)可知f(x)在区间2,5上是递减的，故任意的x2,5均有f(5)f(x)f(2)，f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).规律方法(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法.(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b).若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a).跟踪演练3已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取值范围为_.答案(0，)解析由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.由可知，0a0，则必有()A.函数f(x)先增后减B.f(x)是R上的增函数C.函数f(x)先减后增D.函数f(x)是R上的减函数答案B解析由0知，当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(2a) B.f(a2)f(a2) D.f(6)f(a)答案C解析因为函数f(x)是增函数，且a3a2，所以f(a3)f(a2).4.函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是()A.(，3) B.(0，)C.(3，) D.(，3)(3，)答案C解析因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.5.如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_.答案1.5,3和5,6解析由图象知单调递增区间为1.5,3和5,6.1.对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2).(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.2.单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2D且x1x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号.3.单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断.(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方