高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第42讲 数列应用题的解法

第42讲 数列应用题的解法【知识要点】一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决.二、与增长量和降低量有关的问题一般是等差数列，与增长率和降低率有关的问题一般是等比数列.三、单利问题：设本金为，期利率为，则期后本利和，对应的是等差数列；复利问题：设本金为，期利率为，则期后本利和，对应的是等比数列.四、数列的问题注意弄清数列的项数、首项、公差和公比等.【方法讲评】方法一等差数列使用情景与等差数列有关解题步骤一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，利用等差数列的性质解答.【例1】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：2003年2004年2005年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完，则不会被沙化.问：（1）每年沙化的亩数为多少？（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？（2） 设2005年及其以后各年的造林亩数分别为、，则【点评】（1）利用等差数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等差数列；（2）利用等差数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公差和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题.【反馈检测1】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.方法二等比数列使用情景与等比数列有关解题步骤一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，利用等比数列的性质解答.【例2】商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元其余部分全部在年底还建行贷款（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）（参考数据：，1.4774）【解析】 依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用（1）设公寓投入使用后年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为100080（元）800000（元）80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元依题意有化简得两边取对数整理得取12（年）到2014年底可全部还清贷款【点评】（1）银行的单利问题和复利问题，要理解清楚.单利是一个等差数列问题，复利是一个等比数列问题.（2）利用等比数列的性质解答，首先要判断和证明数列是等比数列；（3）利用等比数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公比和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题. 【反馈检测2】为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：贷款期 (年数)公积金贷款 月利率()商业性贷款 月利率()11121314154.3654.4554.5454.6354.7255.0255.0255.0255.0255.025 汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.0044551441.8966，1.0050251442.0581，1.0050251802.4651) 方法三构造等差等比数列使用情景一般是非等差等比数列，但可以转化成等差等比数列.解题步骤先通过题目构造一个等差或等比数列，再利用等差等比数列的性质解答.【例3】2008年底某县的绿化面积占全县总面积的，从2009年开始,计划每年将非绿化面积的8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2被非绿化. 设该县的总面积为1,2008年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示；求数列的第项；至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:).数列是公比为,首项的等比数列. 【点评】（1）构造数列关键是从已知条件入手找到数列的递推关系；（2）构造数列的首项和末项要弄清.【反馈检测3】某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠（）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？（）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第42讲：数列应用题的解法参考答案【反馈检测1答案】（1）3年后开始盈利；（2）采用方案一合算.【反馈检测2答案】（1）汪先生家前12年每月还款942.371268.222210.59元，后3年每月还款1268.22元；（2）当月共还款43880.12元【反馈检测2详细解析】设月利率为，每月还款数为元，总贷款数为元，还款期限为月第1月末欠款数：第2月末欠款数： 第3月末欠款数：第月末欠款数 得：对于12年期的10万元贷款，4.455对于15年期的15万元贷款，5.025由此可知，汪先生家前12年每月还款942.371268.222210.59元，后3年每月还款1268.22元 (2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款其中150000，1268.22，5.025 41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元【反馈检测3答案】（1）对于任意，均有即全县绿地面积不可能超过总面积的80%；（2）2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%由题可知：，所以，当时，两式作差得：又，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列所以， 由上式可知：对于任意，均有即全县绿地面积不可能超过总面积的80%（）令，得，由指数函数的性质可知：随的增大而单调递减，因此，我们只需从开始验证，直到找到第一个使得的自然数即为所求验证可