高考数学二轮专题复习 知能专练（十五）空间角与空间向量

知能专练（十五） 空间角与空间向量一、选择题1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a解析：选A以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)点M在上且.(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z，于是M.| a.2(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析：选A如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDA2B2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，平面AB2D2平面AA1B1BAB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，AB2D260，故其正弦值为.3.在四面体ABCD中，二面角ABCD为60，点P为直线BC上一动点，记直线PA与平面BCD所成的角为，则()A的最大值为60B的最小值为60C的最大值为30D的最小值为30解析：选A过A作AH平面BCD于点H，AGBC于点G，连接PH，GH，则易知AGH为二面角ABCD的平面角，即AGH60，APH为PA与平面BCD所成角，则tanAPH.因为AH为定长，所以当PH取得最小值时，APH取得最大值，易知当点P与点G重合时，PH取得最小值，所以maxAGH60，故选A.4(2017哈师大附中模拟)三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为的正三角形，AA1平面ABC，且AA11，则异面直线A1B与B1C所成角的大小为()A30 B45C60 D90解析：选D如图，把两个相同的三棱柱组合在一起，由于A1BA2B1，那么A2B1与B1C所成的角即为A1B与B1C所成的角，由题可得A2B1B1C，A2C，则有A2BB1C2A2C2，所以A2B1C90，故所求的异面直线A1B与B1C所成的角为90，故选D.5已知锐二面角 l 中，异面直线a，b满足：a，al，b，b与l不垂直，设二面角 l 的大小为1，a与所成的角为2，异面直线a，b所成的角为3，则()A123 B321C123 D321解析：选D在锐二面角l中，a，al，所以二面角 l 的平面角即a与所成的角，则12，因为b，b与l不垂直，根据斜线与平面所成的角是斜线与平面内的任意直线所成角的最小角，则321，故选D.6已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，P是A1C1上任意一点，记平面PAB，平面PBC与下底面所成的二面角分别为，则tan()的最小值为()A BC D解析：选C如图，作PP1AC，交AC于P1，易知，PP1底面ABCD，作PMAB，PNBC，连接MP1，NP1，易证得PMP1，PNP1.设MP1x，则NP11x，所以tan ，tan .tan().0x1，tan()，当且仅当x时取到等号，故选C. 二、填空题7(2017嘉兴模拟)已知正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的大小为_解析：取AC中点G，连接FG，易知EFG即为已知两异面直线所成的角，设棱长为a，则有GEGF，EFa，即GEF为等腰直角三角形，故EFG.答案：8.如图所示的三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC，D是BC的中点，且ADC是边长为2的正三角形，则二面角PABC的大小为_解析：由已知条件，D是BC的中点，CDBD2，又ADC是正三角形，ADCDBD2，D是ABC的外心且又在BC上，ABC是以BAC为直角的三角形，即ABAC，又PC平面ABC，PAAB.PAC即为二面角PABC的平面角，在直角三角形PAC中易求得，tanPAC，PAC30.答案：309.如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，BCD90，且BCCD3.将ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在BCD的内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于_；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于_解析：当平面ABC平面BCD时，点A在平面BCD上的射影为BC上的点M，因为ABAC，所以BMMC，当点A在平面BCD上的射影M在BD上时，因为BCCD3，所以DBC30，所以由BCD90得BMMD，则点M的轨迹的最大长度等于CD.当M位于BD上时，将其补为四棱锥，由已知条件得其为正四棱锥，所以ABAE，又因为EBA为直线AB和CD所成的角，所以cosEBA.答案：三、解答题10(2017金华十校调研)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，BAD60，侧棱PA底面ABCD，E是PC的中点(1)证明：PA平面EBD；(2)若直线PC与平面EBD所成角的大小为60，求PA的长解：(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，O，E分别是AC，PC的中点，EOPA.PA平面EBD，PA平面EBD.(2)PA平面ABCD，PAAC，又EOPA，EOAC，又ACBD，AC平面EBD，CEO就是直线PC与平面EDB所成角在菱形ABCD中，容易求得OC.又EOOC，CEO60，EO，故PA1.11(2018届高三金丽衢联考)如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE平面ABCD，ABBD2，AE，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点(1)证明：CH平面BFD；(2)若CH，求EF与平面EDB所成角的大小解：(1)证明：四边形ABCD为菱形，BDAC.又平面ACFE平面ABCD，BD平面ACFE，BDCH，即CHBD.又点H为FG的中点，CGCF，CHFG.又FGBDG，CH平面BFD.(2)连接EG，由(1)知BD平面ACFE，平面EFG平面BED，EF与平面EDB所成角即为FEG.在FCG中，CGCF，CH，CHGF，GCF120，GF3，EG.又EF2，在EFG中，可求得FEG60.故EF与平面EDB所成角的大小为60.12(2017北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值解：(1)证明：如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点所以M为PB的中点(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为底面ABCD是正方形，所以OEAD.以O为原点，以，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得y1，z.于是n(1,1，)又平面PAD的一个法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题知二面角BPDA为锐角，所以二