高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第69讲 线性和非线性回归模型的建立

第69讲 线性和非线性回归模型的建立【知识要点】一、建立线性回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程）；按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.二、建立非线性回归模型的基本步骤：确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；消去新元，得到非线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.三、检查数据模型拟合效果的好坏，一般有三种方法.方法一：通过残差分析，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适. 方法二：通过残差平方和分析，如果残差的平方和越小，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适.方法三：用相关系数来刻画回归的效果，其计算公式是：其中=真实值-预报值=残差，值越大，说明残差的平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.【方法讲评】题型一线性回归模型的建立解题步骤确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程）；按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.【例1】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日 期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差（C）101113128发芽数（颗）2325302616该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验 （1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； （2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：）所以 故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是（3）当=10时，|2223|2；同样，当=8时，|1716|2所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的 【点评】求回归直线的方程时，最好先计算好公式的基本量，再代入公式求解.这样一是节省试卷的空间，另外是可以把握住得分点，千万不要一次性计算，如果一个地方出了错，整个题目就一分都没有了.【反馈检测1】经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（010）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（）试求关于的回归直线方程；（附：回归方程中，（）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.题型二非线性回归模型的建立解题步骤确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；消去新元，得到非线性回归方程；得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 【例2】在一次抽样调查测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x的回归方程.【解析】作出变量y与x之间的散点图如图所示：由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系.设令则，由y与x的数据表可得y与t的数据表：t4210.50.25y1612521作出y与t的散点图如图所示：【点评】（1）由与的散点图得到与不具备线性关系，近似地满足反比例函数，所以不能直接用最小二乘法求它们的回归方程. 怎么求呢？可以通过换元得到，与近似满足线性关系，可以利用最小二乘法求线性回归方程.（2）相比建立线性回归方程模型，建立非线性回归方程模型多了两个步骤，即第四步通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，第六步去新元，得到非线性回归方程。这个实际上，是数学中的转化的思想的具体运用.【反馈检测2】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，3，.8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469108.8表中： .（）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（I）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第69讲：线性和非线性回归模型的建立参考答案【反馈检测1答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值【反馈检测2答案】（）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（）关于的回归方程为=100.6+68；（）（i）当=49时，年销售量的预报值576.6，年利润z的预报值66.32；（ii）当=46.24时，年利润的预报值最大【反馈检测2详细解析】（）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（）令，先建立关于的线性回归方程，由于，563686.8=100.6，所以关于的线性回归方程为=100.6+68，因此关于的回归方程为=100.6+68，（）（i）由（）知，当=49时，年销售量的预报值=100.6+68=576.6，年利润的预报值=576.60.249=66.32，（