高考数学二轮专题复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式讲义

专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语一、基础知识要记牢1集合中元素的特性集合元素具有确定性、互异性和无序性解题时要特别注意集合元素互异性的应用2运算性质及重要结论如(1)AAA，AA，ABBA；(2)AAA，A，ABBA；(3)ABAAB，ABABA等二、经典例题领悟好例1(1)(2017浙江高考)已知集合Px|1x1，Qx|0xy，则x|y|”的逆命题B命题“x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题解析(1)设复数zabi(a，bR)，对于p1，R，b0，zR，p1是真命题；对于p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0或b0，p2不是真命题；对于p3，设z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取z112i，z212i，z12，p3不是真命题；对于p4，zabiR，b0，abiaR，p4是真命题(2)对于A，其逆命题是：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|y，必有xy；对于B，其否命题是：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于C，其否命题是：若x1，则x2x20，由于x2时，x2x20，所以原命题的否命题是假命题；对于D，若x20，则x0或x1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题故选A.答案(1)B(2)A (1)在判定四个命题之间的关系时，首先要分清命题的“大前提、条件、结论”，再进行比较.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质，当一个命题的真假不易判定时，可转化为判断其等价命题的真假.三、预测押题不能少2(1)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数解析：选C命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是若xy不是偶数，则x与y不都是偶数(2)有下列四个命题：若“xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为()ABC D解析：选D的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy1”是真命题；的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；的逆否命题：“若x22xm0没有实数解，则m1”是真命题；命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A1,2,3,4,5，B4,5，显然AB是错误的故选D.一、基础知识要记牢对于p和q两个命题，若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p和q互为充要条件推出符号“”具有传递性，等价符号“”具有双向传递性二、经典例题领悟好例3(1)(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)设A，Bx|xb|a，若“a1”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是_解析(1)因为an为等差数列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d0S4S62S5，所以“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件(2)Ax|1x1，当a1时，Bx|b1xb1，若“a1”是“AB”的充分条件，则有1b11或1b11，所以b(2,2)答案(1)C(2)(2,2)判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. (2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.三、预测押题不能少3(1)“10a10b”是“lg alg b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B由10a10b得ab，由lg alg b得ab0，所以“10a10b”是“lg alg b”的必要不充分条件(2)设p：实数x，y满足(x1)2(y1)22，q：实数x，y满足则p是q的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选Ap表示以点(1,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)由图可知，p是q的必要不充分条件故选A.知能专练(一)一、选择题1(2017北京高考)若集合Ax|2x1，Bx|x3，则AB()Ax|2x1Bx|2x3Cx|1x1 Dx|1x3解析：选A由集合交集的定义可得ABx|2x12(2017浙江延安中学模拟)命题“若a2b20，a，bR，则ab0”的逆否命题是()A若ab0，a，bR，则a2b20B若ab0，a，bR，则a2b20C若a0且b0，a，bR，则a2b20D若a0或b0，a，bR，则a2b20解析：选D“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又ab0的实质为a0且b0，故其否定为a0或b0.故选D.3(2017宁波模拟)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选Bln(x1)00x111x0，而(1,0)是(，0)的真子集，所以“x0”是“ln(x1)1或xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A1，) B(，1C3，) D(，3解析：选A设Px|x1或xa，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a1.5(2016全国卷)已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析：选C因为Bx|(x1)(x2)0，xZx|1x2，xZ0,1，A1,2,3，所以AB0,1,2,36(2018届高三安徽“江南十校”联考)已知集合Ax|x2x0，函数f(x)2x(xA)的值域为B，则(RA)B等于()Ax|11解析：选A由题意知，集合Ax|0x1，By|1y2，RAx|x1，(RA)Bx|1x27设集合Sn1,2,3，n，nN*，若XSn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集若n4，则Sn的所有奇子集的容量之和为()A7 B8C9 D10解析：选A若n4，则Sn的所有奇子集为1，3，1,3，故所有奇子集的容量之和为7.8(2017全国卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为()A3B2C1 D0解析：选B因为A表示圆x2y21上的点的集合，B表示直线yx上的点的集合，直线yx与圆x2y21有两个交点，所以AB中元素的个数为2.9(2016山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选A.10下列关于命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题的结论中成立的是()A都为真命题 B都为假命题C否命题为真命题 D逆否命题为真命题解析：选D对于原命题：“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若x|ax2bxc0，则抛物线yax2bxc的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2bxc0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题故选D.二、填空题11已知集合U1,2,3,4,5,6，S1,3,5，T2,3,6，则S(UT)_，集合S共有_个子集解析：由题意可得UT1,4,5，则S(UT)1,5集合S的子集有，1，3，5，1,3，1,5，3,5，1,3,5，共8个答案：1,5812(2017南通模拟)给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cos b”是“3a3b”的充要条件，错误；“”是“cos cos ”的既不充分也不必要条件，错误；“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件，正确故正确命题的序号为.答案：13已知R是实数集，M，Ny|y1，则N(RM)_，M(RN)_.解析：Mx|x2，Ny|y1y|y1，RMx|0x2，RNy|y1，N(RM)x|1x2，M(RN)x|x2答案：x|1x2x|x214若“4xp0”的充分条件，则实数p 的取值范围是_解析：由x2x20，得x2或x1.由4xp0得x.故1时，“x”“x0”p4时，“4xp0”的充分条件答案：4，)15(2017诸暨质检)已知Ax|2x0，Bx|x2x20，则AB_，(RA)B_.解析：Ax|2x0，RAx|x0，又Bx|x2x20x|1x2，ABx|2x2，(RA)Bx|0x2答案：x|2x2x|0x216(2017四川南山模拟)已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是_解析：由题意知，x是不等式|xm|1成立的充分不必要条件，所以是x|xm|1的真子集而x|xm|1x|1mx1m，所以有(两个不等式不能同时取等号)，解得m，所以m的取值范围是.答案：17设全集UR，集合Ax|x23x40，Bx|log2(x1)2，则AB_，AB_，RA_.解析：Ax|1x4，Bx|1x5，ABx|1x4，ABx|1x5，RAx|x1或x4答案：x|1x4x|1x5x1或x4选做题1已知集合A(x，y)|xn，ynab，nZ，B(x，y)|xm，y3m212，mZ，若存在实数a，b使得AB成立，称点(a，b)为“”点，则“”点在平面区域C(x，y)|x2y2108内的个数为()A0 B1C2 D无数个解析：选AA(x，y)|xn，ynab，nZ(x，y)|yaxb，xZ，B(x，y)|xm，y3m212，mZ(x，y)|y3x212，xZ，联立故3x2ax12b0，因为AB，故a212(12b)a212b1440，即a212b144，联立解得a6，b6，代入中可知x，这与xZ矛盾，故“”点在平面区域C(x，y)|x2y2108内的个数为0，故选A.2对于非空数集A，B，定义ABxy|xA，yB，下列说法：ABBA；(AB)CA(BC)；若AABB，则AB；若ACBC，则AB.其中正确的是()A BC D解析：选B对于，ABxy|xA，yByx|xA，yBBA，正确；对于，(AB)C(xy)z|xA，yB，zCA(BC)，正确；对于，当A奇数，B偶数时，AA偶数BB，显然AB，错误，对于，当A奇数，B偶数，C整数时，AC整数BC，显然AB，错误综上所述，正确的为，故选B.3已知命题p：对数loga(2t27t5)(a0，a1)有意义；q：关于实数t的不等式t2(a3)t(a2)0.若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：由题意知，2t27t50，解得1t.命题p是命题q的充分不必要条件，1t是不等式t2(a3)t(a2)，解得a.即实数a的取值范围是.答案：第二讲函数的概念与性质一、基础知识要记牢(1)函数初、高中定义形式不同，本质一样，核心是对应；(2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数；(3)分段函数是一个函数而不是几个函数，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的二、经典例题领悟好例1(1)(2015浙江高考)存在函数f(x)满足：对于任意xR都有()Af(sin 2x)sin xBf(sin 2x)x2xCf(x21)|x1| Df(x22x)|x1|(2)(2017嘉兴模拟)设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.(3)(2016江苏高考)函数y 的定义域是_解析(1)取x0，可得f(0)0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；取x0，可得f(0)0，2，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；取x1，1，可得f(2)2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；取f(x) ，则对任意xR都有f(x22x) |x1|，故选项D正确(2)当a0时，f(a)a22a2(a1)210，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解当a0时，f(a)a20，由f(f(a)a42a222，解得a.(3)要使函数有意义，需32xx20，即x22x30，得(x1)(x3)0，即3x1，故所求函数的定义域为3,1答案(1)D(2)(3)3,11.理解函数概念的要点函数概念本质是对应，以具体函数模型为基础，在新背景、综合背景下理解.2.求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可；(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.,3.求函数值时应注意的问题分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用好其周期性.三、预测押题不能少1(1)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3B3c6C69解析：选C由题意，不妨设g(x)x3ax2bxcm，m(0,3，则g(x)的三个零点分别为x13，x22，x31，因此有(x1)(x2)(x3)x3ax2bxcm，则cm6，因此cm6(6,9(2)已知函数f(x)则f_.解析：ftan 1，ff(1)2(1)32.答案：2一、基础知识要记牢函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换正确作图是解题的基本保障，识图、用图是解题的手段和目标二、经典例题领悟好例2(1)(2016浙江高考)函数ysin x2的图象是()(2)函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，其中A(1,2)，B(3,0)，函数g(x)xf(x)，那么函数g(x)值域为()A0,2B.C. D0,4解析(1)ysin(x)2sin x2，函数为偶函数，可排除A项和C项；当x时，ysin x21，而，且ysin1，故D项正确(2)由题图可知直线OA的方程是y2x；而kAB1，所以直线AB的方程为y(x3)x3.由题意，知f(x)所以g(x)xf(x)当0x1时，g(x)2x20,2；当1b)的图象如图所示，则函数g(x)axb的大致图象是()解析：选A由二次函数的图象可知b1,0af(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：作出函数f(x)的图象如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立等价于xa2ax，即x在a，a1上恒成立，所以只需a1，即a2.答案：(，2)一、基础知识要记牢(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数在其定义域上满足f(ax)f(x)(a不等于0)，则其一个周期T|a|.二、经典例题领悟好例3(1)(2017北京高考)已知函数f(x)3xx，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数(2)(2016山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)()A2B1C0 D2(3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析(1)因为f(x)3xx，且定义域为R，所以f(x)3xxx3xf(x)，即函数f(x)是奇函数又y3x在R上是增函数，yx在R上是减函数，所以f(x)3xx在R上是增函数(2)由题意知当x时，ff，则f(x1)f(x)又当1x1时，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)又当x0时，f(x)x31，f(1)2，f(6)2.故选D.(3)f(x)满足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0时， f(x) x2，则f(1)()A2 B0 C1 D2解析：选Af(1)f(1)2.2(2017大连测试)下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()Ay Bylog2|x|Cy1x2 Dyx31解析：选C函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求3(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2，2的图象大致为()解析：选Df(2)8e282.820，排除A；f(2)8e282.721，排除B；x0时，f(x)2x2ex，f(x)4xex，当x时，f(x)4e00，因此f(x)在单调递减，排除C.故选D.4(2017天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbc0时，f(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，且g(x)0.又ag(log25.1)g(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，20.82log24log25.1log283，所以ba7，函数F(x)的值域为(7，)(3)依题意得当x2,6时，x23mxm4恒成立，即x2mxm10对x2,6恒成立设p(x)x2mxm1，则或或m24m40，即或或m2，得m1.综上可知，实数m的取值范围是(，114设a0，bR，函数f(x)2bxb(0x1)(1)求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)|2ab|0在区间(0，m上恒成立，求实数m的最大值解：(1)当b0时，f(x)在0x1上递减，此时f(x)minf(1)a2bbab；当b0时，有2bx22，x 时等号成立当b0，即 1时，f(x)在0x1上递减，此时f(x)minf(1)ab.当b，即 2a时，f(x)|2ab|2b(1x)2a4a(1x)2aa.由4x20，解得x，又因为0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数二、经典例题领悟好例1(1)(2017杭州模拟)将函数f(x)axb，g(x)loga(1bx)的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能正确的是()(2)设alog36，blog510，clog714，则()Acba Bbca Cacb Dabc解析(1)因为g(0)0，故排除D；选项A中，由直线可以看出b0知，函数在y轴右侧的图象是有限的，排除A；选项C中，由直线可以看出b0，由1bx0知，函数在y轴左侧的图象是有限的，排除C，故选B.(2)alog36log33log321log32，blog510log55log521log52，clog714log77log721log72，log32log52log72，abc.答案(1)B(2)D(1)基本初等函数的图象是其性质的直观载体，要结合图象理解性质；图象变换要以基本函数图象为基础，结合性质等判断、应用.(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较. 三、预测押题不能少1(1)函数yxx的图象大致为()解析：选A函数yxx为奇函数当x0时，由xx0，即x3x，可得x21，故x1，结合选项，选A.(2)已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab解析：选A因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数知，ba；又因为a24，c255，由函数yx在(0，)上为增函数知，ac.综上得ba0；当时，恒有f(x)0.二、经典例题领悟好例2(1)(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关(2)若二次函数f(x)满足f(3)f(1)5，且f(x)的最大值是3，则函数f(x)的解析式为_(3)若函数f(x)cos 2xasin x在区间上是减函数，则a的取值范围是_解析(1)f(x)2b，当01时，f(x)minmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb,1ab，Mmmax与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0,1上单调递减，Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关(2)法一：设f(x)ax2bxc(a0)，依题意得解得所以二次函数的解析式为f(x)2x24x1.法二：设f(x)a(xm)2n(a0)，因为f(3)f(1)，所以抛物线的对称轴为x1，则m1.又f(x)的最大值是3，则a0，n3，即f(x)a(x1)23，由f(3)5得4a35，则a2，所以二次函数的解析式为f(x)2(x1)232x24x1.法三：设f(x)5a(x3)(x1)(a0)，即f(x)ax22ax3a5a(x1)24a5，又f(x)的最大值是3，则a0，且4a53，所以a2，所以二次函数的解析式为f(x)2x24x1.(3)f(x)cos 2xasin x12sin2xasin x，令tsin x，x，则t，原函数化为y2t2at1，由题意及复合函数单调性的判定可知y2t2at1在上是减函数，结合二次函数图象可知，所以a2.答案：(1)B(2)f(x)2x24x1(3)(，2解决有关二次函数两类综合问题的思想方法(1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用(2)二次函数的最值问题，通常采用配方法，将二次函数化为ya(xm)2n(a0)的形式，得其图象顶点(m，n)或对称轴方程xm，分三种情况：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动