高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温 4 数列与不等式教学案 理

4. 数列与不等式要点重温1等差数列及其性质(1)an等差数列an1and(d为常数)或an1ananan1 (n2) 2anan1an1(n2，nN*)ananbSnAn2Bn.(2)等差数列的性质anam(nm)d；当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.Snna1dn2n是关于n的二次函数且常数项为0.Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列应用1已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1012，S2017，则S30为()A15B20C25D30答案A2等比数列及其性质(1)an等比数列 q(q为常数，q0)(a10)ana1qn1.应用2x是a、x、b成等比数列的()【导学号：07804176】A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析若xa0，x成立，但a、x、b不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比数列，则x2abx，所以x不一定成立，必要性不成立所以选D.答案D(2)等比数列的性质当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有amana.应用3(1)在等比数列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整数，则a10_.(2)各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10_.答案(1)512(2)10(3)求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解应用4设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列的公比q是_解析当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9得q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或13求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法应用5如图10(1)，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图10(2)，如此继续下去，得图10(3)，试探求第n个图形的边长an和周长Cn.图10(1)图10(2)图10(3)答案an，Cn(34n1)(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式(3)叠加法(迭加法)：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；叠乘法(迭乘法)：.应用6已知a11，an12nan，求an.答案an2(4)已知Sn与an的关系，利用关系式an求an.应用7已知数列an的前n项和Sn2n1，则an_.解析当n1时，a1S13.n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.所以an.答案(5)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式应用8已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12，则数列an的通项公式为an_.解析令x2，y2n1，则f(xy)f(2n)2f(2n1)2n1f(2)，即an2an12n，1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得1(n1)1n，即ann2n.答案n2n4数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法如：；.应用9求和：Sn12x3x2nxn1.答案Sn (6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法应用10数列an满足anan1(nN，n1)，若a21，Sn是an的前n项和，则S21的值为_. 【导学号：07804177】答案5研究数列an的单调性的方法：(1)an1an ，如an2n4n5；(2) ，an；(3)anf(n)增减性，转化为研究函数f(x)的增减性，如an.应用11若an，求数列an中的最大项答案a3 6两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，同时要注意“同号可倒”，即ab0；ab.应用12若实数a，bR且ab，则下列不等式恒成立的是()Aa2b2B1C2a2bDlg(ab)0解析根据函数的图象(图略)与不等式可知：当ab时，2a2b，故选C.答案C7用基本不等式“ (a，b0)”求最值(或值域)时，要注意到条件“一正、二定、三相等”；在解答题，遇到利用基本不等式求最值的问题，要交待清楚取等号的条件常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值应用13(1)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62B72C64D74解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)772 74，当且仅当时取等号答案D(2)已知0x1y，则logxylogyx的值域是_. 【导学号：07804178】答案(，2 (3)函数f(x)的值域是_答案 8求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点与点(2,2)连线的斜率，而(x1)2(y1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等同时解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负应用14若实数x，y满足，且x2y2的最大值等于34，则正实数a的值等于()ABCD3解析做出可行域，如图所示，x2y2表示点(x，y)与(0,0)距离的平方，由图知，可行域中的点B离(0,0)最远，故x2y2的最大值为3234a，故选B.答案B9解答不等式恒成立问题的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法(2)从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化最小值大于零(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形应用15如果kx22kx(k2)0恒成立，则实数k的取值范围是_. 【导学号：07804179】A1k0B1k0C1k0D1k0解析当k0时，原不等式等价于20，显然恒成立，所以k0符合题意当k0时，由题意得，解得1k0.所以1k0.答案C10不等式有解问题：af(x)有解 af(x)min；af(x)有解 af(x)max.应用16已知函数f(x) ，其中aR，若对任意非零实数x1，存在唯一实数x2(x1x2)，使得f(x1)f(x2)成立，则实数k的最小值为()A8B6C6D8解析由数形结合讨论知f(x)在(，0)递减，在(0，)递增， ，令g(a)，则g(a)1(0a1)且g(a)(0a1)，g(a)在上递减，在上递增，即kming8.答案D查缺补漏1已知实数x，y满足axay(0aBln(x21)ln(y21)Csin xsin yDx3y3D因为0a1，axy.采用赋值法判断，A中，当x1，y0时，1，A不成立B中，当x0，y1时，ln 1ln 2，B不成立C中，当x0，y时，sin xsin y0，C不成立D中，因为函数yx3在R上是增函数，故选D2已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1BC DB由题可知，当n2时，anSnSn12an12an，于是有，an，故Sna1a2an1.3已知x，y满足约束条件 ，若z2xy的最小值为1，则实数a的值是() 【导学号：07804180】A4BC1D2D做出可行域及直线2xy0，如图所示平移直线2xy0，当其经过点A时，z2xy取得最小值；解 得 ；因为z2xy的最小值为1，所以zmin211，a2，故选D.4在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am (m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为()A4B5C6D7B因为an是正项等比数列，所以am1am12ama，am2，又T2m1a1a2a2m1a，所以22m151229，m5.5在等差数列an中，a50且a6|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列说法正确的是()AS1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0C由题意可知a6a50，故S100，而S99a52f(x)若g(x)x2f(x)，则不等式g(2x)0，而g(x)x2f(x)也为偶函数，所以g(2x)g(1x)g(|2x|)g(|1x|)|2x|1x|3x22x101xf(m22m2)，则m的取值范围是_1mf(m22m2)可化为f(m21)f(m22m2)，又1m213,1m22m23，故m21m22m2m0恒成立，则实数x的取值范围是_(，1)(3，)设f(a)(x2)a(x24x4)，则f(a)0对a1,1成立等价于 ，即 ，解之得x3，即实数x的取值范围是(，1)(3，)12已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，则b的取值范围为_. 【导学号：07804182】(2，2)由指数函数图象可得f(a)1，所以g(b)1，即b24b31，解得2b2.13设x，y满足约束条件 ，若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为6，则的最小值为_根据题意，画出可行域(图略)将zaxby变形为：yx(a0，b0)进行平移，当 ，即 时，zaxby(a0，b0)取最大值6，所以4a6b6(a0，b0)，所以(4a6b)(当且仅当 时取“”)，所以最小值为.14已知数列an是各项均为正数的等比数列，a34，an的前3项和为7.(1)求数列an的通项公式；(2)若a1b1a2b2anbn(2n3)2n3，设数列bn的前n项和为Sn，求证：2.解(1)设数列an的公比为q，由已知得q0，且数列an的通项公式为an2n1.(2)证明：当n1时，a1b11，且a11，解得b11.当n2时，anbn(2n3)2n3(2n23)2n13(2n1)2n1.an2n1，当n2时，bn2n1.b11211满足bn2n1，数列bn的通项公式为bn2n1(nN*)数列bn是首项为1，公差为2的等差数列Snn2.当n1时，12.当n2时，.22.15已知数列an满足：a1，a2，2anan1an1(n2，nN*)，数列bn满足：b10,3bnbn1n(n2，nN*)，数列bn的前n项和为Sn.(1)求证：数列bnan为等比数列；(2)求证：数列bn为递增数列；(3)若当且仅当n3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围. 【导学号：07804183】解(1)证明：2anan1an