高中数学 第二章 平面解析几何初步 2_1_5 平面上两点间的距离学案 苏教版必修2

2.1.5平面上两点间的距离学习目标1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式.2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题.3.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.知识点一两点间的距离已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).思考1当x1x2，y1y2时，P1P2？思考2当x1x2，y1y2时，P1P2？思考3当x1x2，y1y2时，P1P2？请简单说明理由.梳理(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).(2)结论：_.(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离OP_.知识点二中点坐标公式思考已知A(1,3)，C(6，1)，怎样求AC的中点呢？梳理一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则类型一两点间的距离公式例1如图，已知ABC的三个顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积.申探究若本例中的三个点的坐标改为A(2,3)，B(2t，3t)，C(5,1)，对任意t1，试判断ABC的形状.反思与感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.(3)利用平面上两点间的距离公式可以求点的坐标，方法：根据已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足的条件，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.跟踪训练1已知点A(1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使PAPB，并求PA的值.类型二运用坐标法解决平面几何问题例2在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2AC22(AD2DC2).反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.跟踪训练2已知：在等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：ACBD.1.过点A(4，a)和点B(5，b)的直线和直线yxm平行，则AB_.2.已知点M(m，1)，N(5，m)，且MN2，则实数m_.3.已知点M(1,3)和点N(5,1)，点P(x，y)到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是_.4.若三角形的顶点分别为A(2，3)，B(2，5)，C(6,4)，则AB边上的中线长为_.5.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为_.1.坐标平面内两点间的距离公式是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.2.解析法证明几何问题的步骤答案精析问题导学知识点一思考1P1P2|x2x1|.思考2P1P2|y2y1|.思考3如图，在Rt P1QP2中，P1PP1Q2QP，所以P1P2.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2.梳理(2)P1P2(3)知识点二思考如图，设线段AC的中点M的坐标为(x，y)，过点A，M，C向x轴作垂线，垂足分别为A1，M1，C1，则A1，M1，C1的横坐标分别为1，x,6.由A1M1M1C1，得x(1)6x，解得x，同理得y1，所以线段AC的中点M的坐标为.梳理题型探究例1解(1)AB，AC，又BC，AB2AC2BC2，且ABAC，ABC是等腰直角三角形(2)SABCACAB()226，ABC的面积为26.引申探究解根据题意可得AB(1t)，AC，BC，AB2AC2BC2.ABC是以A为直角顶点的直角三角形跟踪训练1解设P(x,0)，则PA，PB，PAPB，解得x1，P(1,0)，PA2.例2证明设BC所在边为x轴，以D为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(a,0)AB2(ab)2c2，AC2(ab)2c2，AD2b2c2，DC2a2，AB2AC22(a2b2c2)，AD2DC2a2b2c2，AB2AC22(AD2DC2)跟踪训练2证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)，AC，BD.故ACBD.当堂训练1