高中数学 第二章 平面解析几何初步 2_2_2 直线与圆的位置关系学案 苏教版必修2

2.2.2直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.知识点直线与圆的三种位置关系及判定思考用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系？梳理位置关系相离相切相交图示几何法d与r的大小d_rd_rd_r位置关系相离相切相交代数法依据方程组解的情况0方程组有两个不同解类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：相交；相切；相离.反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是_.类型二切线问题例2过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求此切线方程.引申探究若本例的条件不变，求其切线长.反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系知，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_.类型三弦长问题例3(1)过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_.(2)圆心为C(2，1)，截直线yx1所得的弦长为2的圆的方程为_.(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程.反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式AB 求解.(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在).(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有()2d2r2，即AB2.通常采用几何法较为简便.跟踪训练3已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.1.直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是_.2.若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_.3.平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线方程为_.4.设A、B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则AB_.5.直线ykx3与圆(x1)2(y2)24相交于M，N两点，且MN2，则k的取值范围是_.1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在.3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.答案精析问题导学知识点思考联立直线与圆的方程，根据方程组解的个数判定直线与圆的位置关系当方程组无解时，相离；当方程组有一解时，相切；当方程组有两解时，相交梳理1，所以点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究解因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则ABC为直角三角形，AC，又BCr1，则AB4，所以切线长为4.跟踪训练2x2y50例3(1)(2)(x2)2(y1)24(3)解若直线l的斜率不存在，则l：x5与圆C相切，不合题意，直线l的斜率存在，设其方程为y5k(x5)，即kxy5(1k)0.如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半，在RtAHO中，OA5，AHAB42.OH，解得k或k2.直线l的方程为x2y50或2xy50.跟踪训练3(1)证明l：kxyk20，直线l可化为y2k(x1)，直线l经过定点(1,2)又(1)2228，(1,2)在圆C内，直线l与圆相交(2)解由(1)知，直线l过定点P(1,2)又圆C：x2y28的圆心为原点O，与OP垂直的直线截得的弦长最短kOP2，kl，直线l：y2(x1)，即x2y50.设直线l与圆交于A、B两点，OP，AB222.