高考数学二轮专题复习 知能专练（十二）数学归纳法

知能专练（十二） 数学归纳法一、选择题1已知f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2解析：选Af(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故选A.2用数学归纳法证明12(n2)(nN*)时，第一步需要证明()A12B12C12D12解析：选C第一步验证n2时是否成立，即证明12.3某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A当n4时命题不成立B当n6时命题不成立C当n4时命题成立D当n6时命题成立解析：选A因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立4证明1(nN*)，假设nk时成立，当nk1时，左端增加的项数是()A1项 Bk1项 Ck项 D2k项解析：选D当nk时，不等式左端为1；当nk1时，不等式左端为1，增加了项，共(2k11)2k12k项5利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：选B当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)6(2017杭州模拟)对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时， 11，不等式成立(2)假设nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则nk1时，n21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_解析：当n1时，22，不成立当n2时，45，不成立当n3时，810，不成立当n4时，1626，成立当n6时，6437，成立由此知n0应取5.答案：5三、解答题10(2017安庆模拟)已知数列an满足a1a2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN*，an2；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由解：(1)证明：用数学归纳法证明an2(nN*)当n1时，a1a2，结论成立；假设nk(k1)时结论成立，即ak2，则nk1时，ak12，所以nk1时，结论成立故由及数学归纳法原理，知对一切的nN*，都有an2成立(2)an是单调递减的数列因为aaan2a(an2)(an1)，又an2，所以aa0，所以an1an.故an是单调递减的数列11已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，P2.直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于所有的nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上12已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明解：(1)Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；b若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；c若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；d若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；e若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；f若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2