高中数学 第二章 解析几何初步 2_3 第1课时 直线与圆的位置关系学案 北师大版必修2

第1课时直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题知识点直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断思考如何判断直线xy20与圆x2y21的位置关系？梳理直线与圆位置关系的判定位置关系相交相切相离公共点个数_个_个_个判定方法几何法：设圆心到直线的距离为d_ _代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式类型一直线与圆的位置关系的判断例1求实数m的取值范围，使直线xmy30与圆x2y26x50分别满足：相交；相切；相离反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系但有一定的局限性，必须是过定点的直线系跟踪训练1对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心类型二切线问题例2过点A(4，3)作圆(x3)2(y1)21的切线，求此切线方程引申探究若本例的条件不变，求其切线长反思与感悟求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程如果k0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出跟踪训练2若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_类型三直线与圆相交问题例3过圆x2y28内的点P(1,2)作直线l交圆于A，B两点若直线l的倾斜角为135，则弦AB的长为_反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|求解(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在)(3) 几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2d2r2，即|AB|2.通常采用几何法较为简便跟踪训练3已知直线l：kxyk20与圆C：x2y28.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长例4直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2y225相交于A、B两点，截得的弦长为4，求直线l的方程反思与感悟设直线方程时，注意别遗漏了斜率不存在的情况，应先验证斜率不存在时，是否符合题意跟踪训练4已知圆C与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离2直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或123若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)4圆x2y24截直线xy20所得的弦长为()A2 B1 C. D25过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷2一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l|x1x2|.3研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条答案精析问题导学思考有两种方法方法一(几何法)圆心(0,0)到直线xy20的距离dr1.故直线与圆相离方法二(代数法)联立方程组该方程组无解故直线与圆相离梳理210dr001，所以点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.引申探究解因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则ABC为直角三角形，|AC|，又|BC|r1，则|AB|4，所以切线长为4.跟踪训练2x2y50例3解析(1)方法一(交点法)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由解得A(，)，B(，)|AB|.方法二(弦长公式)由题意知，直线l的方程为y2(x1)，即xy10.由消去y，得2x22x70.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x21，x1x2.|AB|.方法三(几何法)由题意知直线l的方程为y2(x1)，即xy10，圆心O(0,0)到直线l的距离为d，则有|AB|22 .跟踪训练3(1)证明l：kxyk20，直线l可化为y2k(x1)，直线l经过定点(1,2)，(1)2220，解得k0.又x1x2，x1x2，由斜率公式， 得y1y2k(x1x2)|AB| 4，两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2，均符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50.跟踪训练4解圆心在直线x3y0上，故可设其圆心为(3b，b)，b0，由圆C与y轴相切可知，r3|b|，弦心距d|b|.又l2，故.()2(|b|)2(3|b