高考数学二轮专题复习 第二部分 专题一 善用数学思想讲义

专题一善用数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中第一讲函数与方程思想_数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想的含义函数与方程思想在解题中的应用函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.1函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式2数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.典例示范应用一解决数列、不等式问题例1已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比数列，求数列an的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列an的前n项和为Sn，设bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，(列出方程)解得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1)，所以bn，令f(x)2x(x1)，(构造函数)则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.即时应用1.(1)设a0，b0.()A若2a2a2b3b，则abB若2a2a2b3b，则abC若2a2a2b3b，则abD若2a2a2b3b，则ab(2)f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则a_.解析：(1)由2a2a2b3b，整理得，(2a2a)(2b2b)b0，令f(x)2x2x，显然f(x)是单调递增函数，由f(a)f(b)0可得ab，选A.(2)若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4；当x0即x1,0)时，f(x)ax33x10可化为a，设g(x)，且g(x)在区间1,0)上单调递增，因为g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.答案：(1)A(2)4典例示范应用二解决解析几何、立体几何问题例2已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且.(1)求椭圆C的方程；(2)若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定的取值范围解(1)由已知，A(a,0)，B(0，b)，F(1,0)，则由，得b2a10.b2a21，a2a20，(列出方程)解得a2.a24，b23，椭圆C的方程为1.(2)若直线l斜率不存在，则l：x1，此时M，N，.若直线l斜率存在，设l：yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由 消去y得(4k23)x28k2x4k2120，(列出方程)x1x2，x1x2.(x11，y1)(x21，y2)(1k2)x1x2(x1x2)1.(转化为函数)k20，01，344，30时，有4个零点，当x0时，有2个零点，所以一共有6个零点，故选B.(2)奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)f(2x)f(x)，即f(x)f(x2)f(x4)，f(x)是周期函数，其周期T4.当0x1时，f(x)logx，故f(x)在(0,6)上的函数图象如图所示由图可知方程f(x)10在(0,6)内的根共有4个，其和为x1x2x3x421012，故选C.答案(1)B(2)C即时应用3.(1)已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A(0,2)B(0,8)C(2,8) D(，0)(2)(2018届高三温州五校联考)已知直线(1m)x(3m1)y40所过定点恰好落在函数f(x)的图象上，若函数h(x)f(x)mx2有三个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.B.C. D(1，)解析：(1)m0时结论显然不成立；当m0时，二次函数的对称轴0时显然不成立；当00，如图，此时结论显然成立；当m4时，如图，0时，只要4(4m)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8，故有0m时，在x0，m上，必须要求ysin x和ycos x的图象不在ya的同一侧所以m的最大值是，选C.(2)作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意及图象知应有2a22a，故a.答案(1)C(2)即时应用4.(1)对实数a和b，定义运算“”：ab 设函数f(x)(x22)(xx2)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2B(，2C. D.(2)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0) (m0)若圆C 上存在点P，使得 APB90，则 m的最大值为()A7 B6C5 D4解析：(1)f(x)(x22)(xx2)作出其图象，从图象可以看出；c2时，yf(x)与yc有两个公共点，即函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点；同样的，1c也满足要求，故选B.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.答案：(1)B(2)B数学思想专练(一)一、选择题1(2018届高三浙江五校联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，a24，S10110，则的最小值为()A7B8C. D.解析：选D设等差数列an的公差为d，则解得所以an22(n1)2n，Sn2n2n2n，所以2，当且仅当，即n8时取等号，故选D.2若关于x的方程x22kx10的两根x1，x2满足1x10x22，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B构造函数f(x)x22kx1，关于x的方程x22kx10的两根x1，x2满足1x10x22，即k0.3设函数g(x)x22(xR)，又函数f(x) 则f(x)的值域是()A.(1，)B0，)C，)D.(2，)解析：选D依题意知f(x)f(x)画出f(x)的图象，如图所示，从图中可以看出f(x)的值域为(2，).4已知f(x)exex1，若f(a)f(a2)2，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，2)C(1，) D(2，)解析：选A设g(x)exex，显然有f(x)g(x)1，且g(x)为奇函数，在R上是增函数，因为f(a)f(a2)2，所以g(a)g(a2)0，所以g(a)g(a2)g(2a)，所以a2a，所以a1，选A.5设函数f(x)(a0)的定义域为D，若所有点(s，f(t)(s，tD)构成一个正方形区域，则a的值为()A2 B4C8 D不能确定解析：选B根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g(x)ax2bxc(a0)的两个零点为x1，x2，则一定有|x1x2|fmax(x)，故 ，a24a，a4，选B.6定义域为R的偶函数f(x)满足对任意xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x2,3时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(x1)在(0，)上至少有三个零点，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Af(x2)f(x)f(1)，令x1，则f(1)f(1)f(1)，f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)，f(1)0.f(x)f(x2)，即函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，又当x2,3时，f(x)2x212x18，令g(x)loga(x1) ，则f(x)与g(x)在0，)的部分图象如图所示yf(x)loga(x1)在(0，)上至少有三个零点，可化为f(x)与g(x)的图象在(0，)上至少有三个交点，g(x)在(0，)上单调递减，则解得0a，故选A.二、填空题7已知变量x，y满足约束条件若zkxy的最大值为5，且k为负整数，则k_.解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示：其中点A(2,3)，B(4,3)，C(1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则2k35或4k35或k05，又k为负整数，所以k1.答案：18(2017泰州模拟)在直角ABC中，AB2，AC2，斜边BC上有异于端点的两点E，F，且EF1，则的取值范围是_解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E(x,2x)，Fx，x，其中0x，所以x4x210x9.设f(x)4x210x9，则其图象的对称轴为x，其值域为，所以的取值范围是.答案：9.如图，设直线m，n相交于点O，且夹角为30，点P是直线m上的动点，点A，B是直线n上的定点若|2，则的最小值是_解析：以OB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为y轴，建立如图的坐标系，则A(2,0)，B(4,0)，设P，则，4a，a，所以(2a)(4a)a2a26a82，所以的最小值为.答案：三、解答题10已知函数f(x)|4xx2|a，当函数有4个零点时，求a的取值范围解：函数f(x)|4xx2|a有4个零点，方程|4xx2|a有4个不同的解令g(x)|4xx2|作出g(x)的图象，如图所示，由图象可以看出，当h(x)a与g(x)有4个交点时，0a60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解：(1)设数列an的公差为d，依题意得，2,2d,24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2.从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n，显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41. 12.已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且SABF1.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykxm被圆O：x2y24所截得的弦长为2，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求OMN面积的最大值解：(1)由题意，知椭圆C的焦点在x轴上，设其方程为1(ab0)，由已知得e2，所以a24b2，即a2b，可得cb.SABF|AF|OB|(ac)b1.联立，解得b1，a2，所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意，知圆心O到直线l的距离d1，即1，故有m21k2，由消去y并整理，得x22kmxm210.因为4k2m213k20，所以k0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|x1x2|2(x1x2)24x1x224，将代入，得|x1x2|2，故|x1x2|，|MN|x1x2|，故OMN的面积S|MN|d.令t4k211，则S2 .所以当t3，即k时，Smax1.第二讲分类讨论、转化与化归思想一、分类讨论思想分类讨论思想的含义分类讨论思想在解题中的类型分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.1由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等2由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等3由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等4由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等5由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.典例示范类型一由参数引起的分类讨论例1已知函数f(x)x(x0)(1)若a0，当x1,3时，不等式f(x)2恒成立，求a的取值范围解(1)证明：若a0，设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2).因为x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增若0a1，则f(x)在1,3上单调递增，f(x)minf(1)1a.所以1a2，即a1，所以a1.若1a9，则f(x)在1， 上单调递减，在，3上单调递增，f(x)minf()2.所以2 2，即a1，所以1a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.(2)设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2，3，)，则q的取值范围为_解析：(1)若a1，有a24，a1m，故a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意，若0a0，可得a1S10，q0.当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0(nN*)，则有或即1q1，故q的取值范围是(1,0)(0，)答案：(1)(2)(1,0)(0，)二、转化与化归思想转化与化归思想的含义转化与化归思想在解题中的类型转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法化归与转化的原则有：熟悉化、简单化、直观化以及正难则反等；化归与转化的方法常见的有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法等等.1在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等2在函数、不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等3在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化4在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解5在解决解析几何、立体几何问题时常常在数与形之间进行转化.典例示范类型一形与数的转化例3(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点即时应用3.(1)(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.(2)如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将ABE，DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角EBCF的余弦值为_解析：(1)如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故选A.(2)如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BFCF2，PFBC，又EBEC，EPBC，EPF为二面角EBCF的平面角，而FP，在EPF中，cosEPF.答案：(1)A(2)典例示范类型二常量与变量的转化例4设y(log2x)2(t2)log2xt1，若t在2,2上变化时，y恒取正值，求x的取值范围解设yf(t)(log2x1)t(log2x)22log2x1，当x2时，f(t)0，所以x2，故f(t)是一次函数，当t2,2时，f(t)0恒成立，则有即解得log2x3.0x8，x的取值范围是(8，)即时应用4.(1)对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_(2)设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，则x的取值范围为_解析：(1)设f(p)(x1)px24x3，当x1时，f(p)0，所以x1.要使f(p)在0p4上恒正，等价于即解得x3或x1时，则集合Ax|x1或xa，则ABR，可知a11，即a2，故1a2；当a1时，则集合AR，显然ABR，故a1；当a1时，则集合Ax|x1或xa，由ABR，可知a1a，显然成立，故a1时，1log2x2log2x1log2 21x21.综上得，x的取值范围为0，)4设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或解析：选A不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.5如果正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an2 013，则n()A50 B51 C52 D53解析：选B本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0，1，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00，01，0 600，共7类，共有762128个数；第二类可分为：10，11，1 500，共6类，共有65432121个数，第三类：2 004,2 013，故2 013为第51个数，故n51，选B.6(2017南昌模拟)点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则的取值范围是()A0,2 B0,3C0,4 D2,2解析：选C由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则()()2()|21，且1|OP|，0,4二、填空题7若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围为_解析：如果在1,1内没有值满足f(c)0，则即解得p3或p，取补集为3p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为