高中数学第二章数列2_3_2等比数列的前n项和一课件新人教b版必修51

第二章 数数列列 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简 单问题. 2.3 等比数列 2.3.2 等比数列的前n项和(一) 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 知识链接 1.求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列an，当 q1，Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1qn 1a1qn1)a1q(Sna1qn1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？ 至此你能用a1和q表示出Sn吗？ 预习导引 1.等比数列前n项和公式： (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况. na1 2.等比数列前n项和公式的变式 3.错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于 求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和. 错位相减 要点一 前n项和公式基本量的运算 例1 在等比数列an中， (1)若q2，S41，求S8； 解 方法一 设首项为a1，q2，S41， 解 设公比为q，由通项公式及已知条件得 (2)若a1a310，a4a6 ，求a4和S5. a18. 规律方法 (1)在等比数列an的五个量a1，q，an，n， Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求 出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体 应用. (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1 或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论 . 跟踪演练1 若等比数列an满足a2a420，a3a540，则 公比q_；前n项和Sn_. 解析 设等比数列an的公比为q， 2n122 要点二 错位相减法求和 例2 求和：Snx2x23x3nxn (x0). 解 分x1和x1两种情况. 当x1时，Sn123n. 当x1时，Snx2x23x3nxn， xSnx22x33x4(n1)xnnxn1， (1x)Snxx2x3xnnxn1 规律方法 一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列 ，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法. 跟踪演练2 求数列1，3a，5a2，7a3，(2n1)an1的前n项 和. 解 (1)当a0时，Sn1. (2)当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)， (3)当a1且a0时， 有Sn13a5a27a3(2n1)an1. aSna3a25a37a4(2n1)an. 得SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an， (1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1) 要点三 等比数列前n项和的综合应用 例3 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从 借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付 多少元(1.0161.061,1.0151.051)? 解 方法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n 个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a1 1.01a0a， a21.01a1a1.012a0(11.01)a， a61.01a5a1.016a011.011.015a. 由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0， 故每月应支付1 739元. 方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个 月，则它的本利和为 S1104(10.01)6104(1.01)6(元). 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其 本利和为 S2a(10.01)5a(10.01)4a 故每月应支付1 739元. 规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄 清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下 一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的 计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代 表利率，S代表本利和. 跟踪演练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度， 在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里 上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得 an1 an， 因此，数列an是首项a125，公比q 的等比数列. 热气球在前n分钟内上升的总高度为： 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 例4 设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的 前n项和.已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列. (1)求数列an的通项； 设数列an的公比为q，由a22，可得a1 ，a32q， 又S37，可知 22q7，即2q25q20. 解得q12，q2 . 由题意得q1，q2，a11. 故数列an的通项为an2n1. (2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和 Tn. 解 由于bnln a3n1，n1,2， 由(1)得a3n123n， bnln 23n3nln 2. 又bn1bn3ln 2，bn是等差数列， 规律方法 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取 值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程， 利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用 条件联立方程组求解. 跟踪演练4 已知Sn是无穷等比数列an的前n项和，且公比q1 ，已知1是 S2和 S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项. (1)求S2和S3； 解得3S22S36，即S22，S33. (2)求此数列an的前n项和； (3)求数列Sn的前n项和. 解 由(2)得S1S2Sn 1.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn为( ) C 1 2 3 4 2.设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则 等于( ) C 2 3 41 3.等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的 前5项的和是( ) A.179 B.211 C.243 D.275 1 2 3 4 B 4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增 长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_. 解析 注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别 为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151). 1 2 3 4 11a(1.151) 课堂小结 1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1， an，n，q，