高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第63讲 根据频率分布直方图求中位数众数和平均数

第63讲 根据频率分布直方图求中位数众数和平均数【知识要点】一、用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征），需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确，分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.二、频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般是用频率分布直方图反映样本频率分布.三、样本的数字特征众数：就是数据中出现次数最多的那个，比其他的都多，如果几个数据出现的次数都是最多，则它们都是众数；每个数据都只有一次，那么数据没有众数.所以众数可以不止一个或者没有. 中位数：就是这些数据排列好了以后中间的那个数字，那么如果有偶数个数据，那么就是中间两个数字的平均数，如果有奇数个数据，则中间那个就是数据的中位数.所以数据的中位数不一定在数据中.平均数：这个就是把所有数据相加，除以个数，就是数据的平均数.平均数：方差：标准差：四、茎叶图茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少.当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.【方法讲评】题型一求众数解题步骤一般先计算出频率分布直方图中的每个小矩形的面积，找到面积最大的那个矩形，取该矩形的横边中点对应的数为众数.【例1】 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、中位数分别为（ ）A. ， B， C， D， 【点评】（1）求频率分布图中的众数，一般先计算出频率分布直方图中的每个小矩形的面积，找到面积最大的那个矩形，取该矩形的横边中点对应的数为众数.（2）求众数也可以直接找最高矩形的横边的中点.【反馈检测1】某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13，14，第二组14，15），第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数题型二求中位数解题步骤先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数.【例2】高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组13，14），第二组14，15）第五组17，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01） (3)设表示该班两个学生的百米测试成绩，已知，求事件的概率.事件由6个基本事件组成.所以.【点评】求频率分布直方图中的中位数，一般先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点，点对应的数就是中位数. 【反馈检测2】某公路段在某一时刻内监测到的车速频率分布直方图如图所示（）求纵坐标中参数的值及第三个小长方形的面积；（）求车速的众数，中位数的估计值；（）求平均车速的估计值题型三求平均数解题步骤一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.【例3】 某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组40，50），50，60） 90，100后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（）求成绩落在70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；() 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；() 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.【解析】（）成绩落在70，80）上的频率是03，频率分布直方图如下图 () 成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为（003+0025+0005）1060=36所以所求的概率为【点评】求频率分布直方图中的平均数，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.【反馈检测3】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）60，70）70，80）80，90）x：y1：12：13：44：5高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第63讲:根据频率分布直方图求中位数众数和平均数参考答案【反馈检测1答案】（1）3；（2）288；（3），.【反馈检测2答案】（1），第三个小长方形的面积为；（2）；（3）.【反馈检测2详细解析】（）所有小长形面积之和为1，10+103+104+102=1，解得=0.01， 第三个小长方形的面积为：104=100.04=0.4（）车速的众数=65，车速的中位数是两边直方图的面积相等，于是得：100.01+100.03+（60）0.04=0.5，解得=62.5（）平均车速=0.011045+0.031055+0.041065+0.021075=62【反馈检测3答案】（1）；（2）73；（3）10.【反馈检测3详细解析】（1）依题意得，解得（2）这100名学生语文成绩的平均分为：（3）数学成绩在50，60）的人数为：1000.05=5数学成绩在60，70）的人